Un cuadrado de lado 1 cm se centra en el origen de coordenadas. Si el cuadrado se rota "alfa" grados alrededor del origen, ¿Cuál es el área común...

A2A*. Primero consideraremos la figura formada por dos cuadrados (rojo) y (azul):

Está claro que el área buscada es el área del cuadrado azul descontádole el área de 4 triángulos que sobresalen del cuadrado rojo. Cada uno de esos triángulos tiene una base bb y una altura h=btanαh=btan⁡α, por tanto el área será:

A∩=Ac−4At=ℓ2−4bh2=ℓ2−2b2tanαA∩=Ac−4At=ℓ2−4bh2=ℓ2−2b2tan⁡α

Ahora el resto es encontrar la base del triángulo que sobresale del cuadrado. Lo más simple es calcular donde van a parar dos esquinas adyacente bajo una rotación de ángulo αα, calcular una recta que pasa por ellas y encontrar la interasección de los dos cuadrados. Consideremos la rotación de las dos esquinas superiored (sobre el lado horizontal superior rojo):

(ℓ/2,ℓ/2)↦((cosα−sinα)ℓ/2,(cosα+sinα)ℓ/2)=:E1(ℓ/2,ℓ/2)↦((cos⁡α−sin⁡α)ℓ/2,(cos⁡α+sin⁡α)ℓ/2)=:E1
(−ℓ/2,ℓ/2)↦((−cosα+sinα)ℓ/2,(cosα−sinα)ℓ/2)=:E2(−ℓ/2,ℓ/2)↦((−cos⁡α+sin⁡α)ℓ/2,(cos⁡α−sin⁡α)ℓ/2)=:E2

Ahora se trata de buscar una recta y=mx+ny=mx+n que pase por estos dos puntos anteriores. Haciendo un poco de álgebra la recta buscada resulta ser:

y=xtanα+ℓ2cosαy=xtan⁡α+ℓ2cos⁡α

Ahora buscamos la intersección de esta recta, con el lado superior del cuadrado rojo, que es la recta y=ℓ/2y=ℓ/2 y obtenemos que el punto de interasección es:

P=(−ℓ−1+cosα2sinα,ℓ/2)P=(−ℓ−1+cos⁡α2sin⁡α,ℓ/2)

Ahora la longitud de la base, es la distancia entre PP y la esquina E1E1 anterior, es decir b=d(E1,P)b=d(E1,P), en concreto encontramos que:

b2=d2(E1,P)=ℓ221−sinα1+cosαb2=d2(E1,P)=ℓ221−sin⁡α1+cos⁡α

Sustituyendo en la fórmula del área se tiene la respuesta final:

A∩=ℓ2(1+1−sinα1+cosαtanα)A∩=ℓ2(1+1−sin⁡α1+cos⁡αtan⁡α)

Esta función se puede representar gráficamente (haciendo ℓ=1ℓ=1):

El mínimo se alcanza lógicamente para α=45∘α=45∘, cuando el área llega a ser A∩=22–√/(2+2–√)≈0,8284…A∩=22/(2+2)≈0,8284…. Cada 90º el ciclo se repite.