¿Debería saber Geometría Analítica, antes de poder estudiar análisis tensorial?

Si, pero también se tiene que tener conocimientos de Algebra Matricial y Sistemas de 'n' ecuaciones con 'n' variables. No solo cuando n = 2 ó n = 3, sino también para el caso general, que se resuelve usando matrices y el método de Gauss.

Se supone que lo que se aprendió en Geometría Analítica tanto escalarmente así como vectorialmente en R2R2 y R3R3 debe estar perfectamente aprendido. Por ejemplo, se debe ser capaz de responder rápidamente este tipo de preguntas.

Ahora lo que se debe conocer bien antes de poder estudiar Análisis Tensorial es el tema transformaciones de ejes. Habiendo repasado el tema de un Algebra Matricial y sistema de ecuaciones, vamos ahora con lo que es rotación de ejes ( solo rotación )

Geometría Analítica Plana : Rotación de Ejes.

Si P:(x,y)P:(x,y) son las coordenadas de un punto PP, antes de girar los ejes un ángulo θθ , y si P′:(x′,y′)P′:(x′,y′) son las coordenadas del mismo punto P, después de la rotación.

Las coordenadas de xx e yy están relacionadas con las coordenadas anteriores mediante la matriz ortogonal:

O=[cosθ−senθsenθcosθ]O=[cosθsenθ−senθcosθ]

Mediante la siguiente relación:

[x′y′]=[cosθ−senθsenθcosθ][xy][x′y′]=[cosθsenθ−senθcosθ][xy] ……………(1)

Demostración que aparece en cualquier libro de Geometría Analítica y puede puede hacerse usando geometría elemental y triángulos o trigonometría e identidades trigonométricas.

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Ahora si tenemos como datos x′x′ e y′y′ y queremos regresar a obtener las coordenadas originales xx e yy , solo hay que resolver el siguiente sistema:

Problema:

[cosθ−senθsenθcosθ][xy]=[x′y′][cosθsenθ−senθcosθ][xy]=[x′y′]

Solución:

Para resolver dicho sistema, se multiplica a la ecuación matricial por la matriz inversa del sistema :

[xy]=[cosθ−senθsenθcosθ]−1[x′y′][xy]=[cosθsenθ−senθcosθ]−1[x′y′]

Esto es:

[xy]=[cosθsenθ−senθcosθ][x′y′][xy]=[cosθ−senθsenθcosθ][x′y′]………….….(2)

Las formulas dadas en (1) pueden usarse para hallar las coordenadas de un punto P:(x,y)P:(x,y) en un sistema girado x'- y'. Y las fórmulas dadas en (2) pueden usarse para hallar las coordenadas de un punto P′:(x′,y′)P′:(x′,y′) dadas para un sistema x'-y' ; y usarse para poder calcularlas en un sistema x-y sin girar.

Ejemplo 1:

Las coordenadas de un punto en un sistema x-y son P: ( 4, 3 ) Hallar las coordenadas del mismo punto en un sistema x'-y' que ha girado un ángulo tal que θ = arctan (7/24), con respecto al primer sistema.

Sol: Si tan θ = 7/24 entonces sen θ = 7/25 y cos θ = 24/25

Usando las fórmulas dadas en (1) se obtiene: P' : ( x' , y' ) = ( 4.68 , 1.76 )

Ejemplo 2:

Las coordenadas de un punto en un sistema x'-y' que ha girado un ángulo θ = arctan (7/24) son P': ( 4.68, 1.76 ) Hallar las coordenadas del mismo punto en un sistema x-y, el cual permanece sin girar.

Sol: Sabemos: sen θ = 7/25 y cos θ = 24/25

Luego usando las fórmulas dadas en (2), se obtiene que: P : ( x , y ) = ( 3 , 4 )

En los ejemplos 1 y 2, solamente ha ocurrido una rotación de coordenadas. El punto PP o radio vector OP−→−OP→ no se ha movido, lo que ha rotado ha sido el sistema de ejes cartesianos, al rotar el sistema de ejes se obtiene nuevas coordenadas para ubicar el punto PP : ( 3, 4 ) en el sistema rotado P′P′ : ( 4.68, 1.76 ).

Se comprueba fácilmente que |OP||OP| = |OP′||OP′| = 5 en ambos casos. Como ambos sistemas son ortogonales y con factores de escala igual a 1(*). No hay ninguna necesidad de aclarar si las nuevas componentes son covariantes o contravariantes con respecto a las coordenadas o componentes del sistema inicial, puesto que en coordenadas rectangulares es lo mismo.

Ejemplo 3:

Se tiene la siguiente ecuación: C:8x2−4xy+5y2=36C:8x2−4xy+5y2=36. Mediante una rotación de ejes, eliminar el término xy. Hallar la ecuación de la curva en el sistema x'-y', y determinar cuanto debe ser el ángulo de giro del sistema x'-y' con respecto al sistema sin girar x-y.

Sol: Usando las ecuaciones (1) en la ecuación dada:

8(x′cosθ−y′senθ)24(x′cosθ−y′senθ)(x′senθ+y′cosθ)5(x′senθ+y′cosθ)2−+=368(x′cosθ−y′senθ)2−4(x′cosθ−y′senθ)(x′senθ+y′cosθ)+5(x′senθ+y′cosθ)2=36

Agrupando términos:

(8cos2θ−4senθcosθ+5sen2θ)x′2(–3sen2θ−4cos2θ)x′y′(8sen2θ+4senθcosθ+5cos2θ)y′2−+=36(8cos2θ−4senθcosθ+5sen2θ)x′2−(–3sen2θ−4cos2θ)x′y′+(8sen2θ+4senθcosθ+5cos2θ)y′2=36

Luego, si: x′y′=0x′y′=0 entonces : (−3sen2θ−4cos2θ)=0(−3sen2θ−4cos2θ)=0

Esto es: Tan2θ=−43Tan2θ=−43

2tanθ1−tan2θ=−432tanθ1−tan2θ=−43

Resolviendo:

tanθ=2tanθ=2 ó tanθ=−1/2tanθ=−1/2

Como θθ es positivo:

θ=arctan(2)θ=arctan(2)

Luego: senθ=25√senθ=25 ; cosθ=15√cosθ=15

Sustituyendo en la ecuación anterior resulta:

C:4x′2+9y′2=36C:4x′2+9y′2=36

C:x′29+y′24=1C:x′29+y′24=1

Ecuación que corresponde a una elipse en el sistema x' y'.

Una elipse cuyo centro está en el origen de coordenadas x'-y'. Cuyo semieje mayor es 3 , semieje menor es 2 y distancia desde el origen de coordenadas del sistema x'-y' a los focos es 5–√5.

El sistema x' y' corresponde a un sistema que ha rotado un ángulo aproximado al complemento de 53°/2, que es ≈≈ 63.5 , mas exactamente 63.43495°

Aclaración: Esto es así porque para construir el triangulo que nos permita calcular las funciones trigonométricas del ángulo mitad, en este caso se parte del triangulo notable 3–4–5 en donde los ángulos aproximados son 37° y 53° , pero no son exactamente esos valores. Así que si la pregunta es cuanto debe girar el sistema x'y' con respecto al sistema x-y, la respuesta es:

θ = arctan (2), tal como ya se había indicado antes.

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Resumiendo:

Se tiene un vector x¯x¯ dado por:

x¯=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xN⎤⎦⎥⎥⎥⎥x¯=[x1x2⋮xN]

El mismo vector, en otro sistema de coordenadas, tiene las siguientes componentes:

x¯=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x′1x′2⋮x′N⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥x¯=[x1′x2′⋮xN′]

Ambos vectores están relacionados, mediante la matriz de transformación [A][A] :

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x′1x′2⋮x′N⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮aN1a12a22⋮aN2……⋱…a1Na2N⋮aNN⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xN⎤⎦⎥⎥⎥⎥[x1′x2′⋮xN′]=[a11a12…a1Na21a22…a2N⋮⋮⋱⋮aN1aN2…aNN][x1x2⋮xN]

La transformación inversa es:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xN⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮aN1a12a22⋮aN2……⋱…a1Na2N⋮aNN⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥−1⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x′1x′2⋮x′N⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥[x1x2⋮xN]=[a11a12…a1Na21a22…a2N⋮⋮⋱⋮aN1aN2…aNN]−1[x1′x2′⋮xN′]

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En un sistema ortogonal de tres ejes ( no necesariamente cartesiano )

Se tiene un vector x¯x¯ dado por:

x¯=⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥x¯=[x1x2x3]

Ese mismo vector al ser descrito en un sistema de coordenadas que ha rotado un ángulo θθ con respecto al primero, viene dado por las siguientes coordenadas. Suponiendo que el sistema de ejes ha rotado una sola vez, ya que por cada rotación en un eje diferente se debe de multiplicar por otra matriz de rotación.

x¯′=⎡⎣⎢x′1x′2x′3⎤⎦⎥x¯′=[x1′x2′x3′]

Ambos vectores están relacionados, mediante la matriz de transformación [A][A] :

⎡⎣⎢x′1x′2x′3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥[x1′x2′x3′]=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]

La transformación inversa en este caso es:

⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥−1⎡⎣⎢x′1x′2x′3⎤⎦⎥[x1x2x3]=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]−1[x1′x2′x3′]

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En un sistema ortogonal de dos ejes ( no necesariamente cartesianos )

Se tiene un vector:

x¯=[x1x2]x¯=[x1x2]

El mismo vector tiene otras componentes en un sistema girado con respecto al anterior

x¯′=[x′1x′2]x¯′=[x1′x2′]

Y la matriz de transformación en este caso es [A][A]

[A]=[a11a21a12a22][A]=[a11a12a21a22]

Ambos vectores, están relacionados por:

[x′1x′2]=[a11a21a12a22][x1x2][x1′x2′]=[a11a12a21a22][x1x2]

También se cumple lo siguiente ( en forma inversa )

[x1x2]=[a11a21a12a22]−1[x′1x′2][x1x2]=[a11a12a21a22]−1[x1′x2′]

En general, si usamos la notación [Aij˜][Aij~] , para representar a la matriz inversa: Es decir:

[Aij˜]=[Aij]−1[Aij~]=[Aij]−1

Las transformaciones entre los vectores, se pueden escribir como:

Transformación directa: x′i=[Aij]xjxi′=[Aij]xj

Transformación inversa: xi=[Aij˜]x′jxi=[Aij~]xj′

Donde: i, j : 1, 2 …., N

O mejor aún, sin hacer referencia a ningún subíndice:

Transformación directa: x¯′=[A]x¯x¯′=[A]x¯

Transformación inversa: x¯=[A]−1x¯′x¯=[A]−1x¯′

Todavía no se está explicando tensores, pero al ver la notación simplificada para las transformaciones en las dos últimas ecuaciones se ve la utilidad de la notación tensorial, la cual nos permite en una sola expresión compacta tener mucha información.

(*) El tema de factores de escala se explicará detalladamente en el enlace siguiente:

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