¿Se resuelven igual los problemas de transformación de coordenadas usando coordenadas curvilíneas y usando análisis tensorial?

Respuesta corta: Se resuelven casi igual, la única diferencia es el factor de escala.

Al final el vector completo es el mismo resolviendo por ambos métodos, solo que las componentes de ese vector difieren en el factor de escala. En sistemas de coordenadas curvilíneas se trabaja preferentemente con los vectores unitarios de cada sistema de coordenadas. Mientras que en análisis tensorial se trabaja con vectores de base, la diferencia de las componentes obtenidas por ambos métodos, el factor de escala.

En general la notación para los vectores de base es:

Para sistemas de coordenadas curvilíneos tridimensionales

e⃗ 1e→1 , e⃗ 2e→2 , e⃗ 3e→3

Los módulos de esos vectores de base, son precisamente los factores de escala:

h1=|e⃗ 1|h1=|e→1| , h2=|e⃗ 2|h2=|e→2| , h3=|e⃗ 3|h3=|e→3|

De tal modo que se cumple:

e⃗ 1=h1e^1e→1=h1e^1

e⃗ 2=h2e^2e→2=h2e^2

e⃗ 3=h3e^3e→3=h3e^3

En donde:

e^1e^1 , e^2e^2 , e^3e^3 son los vectores unitarios precisamente.

Ejemplo ( Para el sistema de coordenadas esféricas )

Los vectores unitarios en el sistema de coordenadas esféricas son:

-En notación tensorial:

e^re^r , e^θe^θ , e^ϕe^ϕ

-En notación 'propia' del sistema de coordenadas curvilíneas:

r^r^ , θ^θ^ , ϕ^ϕ^

Los factores de escala son respectivamente:

-En notación tensorial:

h1=1h1=1 , h2=rh2=r , h3=rsenθh3=rsenθ

-En notación 'propia' del sistema de coordenadas curvilíneas:

hr=1hr=1 , hθ=rhθ=r , hϕ=rsenθhϕ=rsenθ

Por lo los respectivos vectores de base en el sistema de coordenadas esféricas son:

e⃗ r=r^e→r=r^ , e⃗ θ=rθ^e→θ=rθ^ , e⃗ ϕ=rsenθϕ^e→ϕ=rsenθϕ^

Ejemplo usando sistemas de coordenadas curvilíneas:

Se va a demostrar con un ejemplo de un sistema de coordenadas curvilíneas bidimensional.

Sea el campo vectorial dado en coordenadas rectilíneas cartesianas:

A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^

Expresar el campo vectorial A⃗ A→ en coordenadas polares.

Solución:

Nos están dando como datos: AxAx y AyAy

Ahora se debe expresar el campo vectorial A⃗ A→ en la forma:

A⃗ =Aρρ^+Aθθ^A→=Aρρ^+Aθθ^

Las coordenadas polares en función de las coordenadas cartesianas están dadas por:

x=ρcosθx=ρcosθ ; y=ρsenθy=ρsenθ ……………….(αα)

Lo primero que hay que hacer es hallar la matriz de transformación, la cual es bastante similar a lo que se hace en Geometría Analítica, cuando se quiere expresar la ecuación de una curva a un sistema no rotado a uno rotado o viceversa. Dicha matriz se obtiene hallando los vectores unitarios de dichas coordenadas. Para hacer dicha transformación se deriva el vector posición con respecto a las coordenadas del sistema curvilíneo al cual se va a transformar.

Como: r⃗ =xi^+yj^r→=xi^+yj^

Reemplazando los valores de 'x' e 'y' dados en la relación (alphaalpha )

r⃗ =ρcosθi^+ρsenθj^r→=ρcosθi^+ρsenθj^

Haciendo el cálculo se obtiene:

e^ρ=∂r⃗ ∂ρ|∂r⃗ ∂ρ|=cosθi^+senθj^e^ρ=∂r→∂ρ|∂r→∂ρ|=cosθi^+senθj^

e^θ=∂r⃗ ∂θ|∂r⃗ ∂θ|=−senθi^+cosθj^e^θ=∂r→∂θ|∂r→∂θ|=−senθi^+cosθj^

Para este sistema:

h1=hρ=|∂r⃗ ∂ρ|=1h1=hρ=|∂r→∂ρ|=1

h2=hθ=|∂r⃗ ∂θ|=ρh2=hθ=|∂r→∂θ|=ρ

En este caso los factores de escala h1h1 y h2h2 son respectivamente 1 y ρρ

Y para los vectores unitarios e^ρe^ρ , e^θe^θ se usará la siguiente nomenclatura ρ^ρ^ y θ^θ^ respectivamente.

Usando matrices:

[ρ^θ^]=[cosθ−senθsenθcosθ][i^j^][ρ^θ^]=[cosθsenθ−senθcosθ][i^j^] ……………………..(M1)

Si lo que se quiere es expresar los vectores unitarios i^i^ yj^j^ en función de los vectores unitarios de las coordenadas polares, se usa la matriz inversa de la matriz anterior. Tal como se hizo aquí:

Geometría Analítica plana. Rotación de ejes.

Continuando:

[i^j^]=[cosθsenθ−senθcosθ][ρ^θ^][i^j^]=[cosθ−senθsenθcosθ][ρ^θ^] ……………………..(M2)

Se tiene; A⃗ =yi+xj^A→=yi+xj^

• Reemplazando:

A⃗ =(ρsenθ)[cosθρ^−senθθ^]+(ρcosθ)[senθρ^−cosθθ^]A→=(ρsenθ)[cosθρ^−senθθ^]+(ρcosθ)[senθρ^−cosθθ^]

Agrupando:

A⃗ =[2ρsenθcosθ]ρρ^+[cos2θsen2θ]ρθ^A→=[2ρsenθcosθ]ρρ^+[cos2θsen2θ]ρθ^

Simplificando. El vector A⃗ A→ en coordenadas polares es:

A⃗ =(sen2θ)ρρ^+(cos2θ)ρθ^A→=(sen2θ)ρρ^+(cos2θ)ρθ^ ……………………..(R1)

Y las componentes son:

Aρ=(sen2θ)ρAρ=(sen2θ)ρ

Aθ=(cos2θ)ρAθ=(cos2θ)ρ

• Se llega a los mismos resultados trabajando con matrices:

A⃗ =Axi^+Ayj^A→=Axi^+Ayj^

A⃗ =[AxAy][i^j^]A→=[AxAy][i^j^]

En este caso:

A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^

Reemplazando los valores de i^i^ y j^j^ dados por la matriz en (M2)

A⃗ =[yx][cosθsenθ−senθcosθ][ρ^θ^]A→=[yx][cosθ−senθsenθcosθ][ρ^θ^]

Reemplazando y e x , por sus valores en coordenaas polares y reacomodando las matrices:

A⃗ =[ρ^θ^][cosθ−senθsenθcosθ][ρsenθρcosθ]A→=[ρ^θ^][cosθsenθ−senθcosθ][ρsenθρcosθ]

Resolviendo:

A⃗ =[ρ^θ^][ρsen(2θ)ρcos(2θ)]A→=[ρ^θ^][ρsen(2θ)ρcos(2θ)]

Desarollando:

A⃗ =(sen2θ)ρρ^+(cos2θ)ρθ^A→=(sen2θ)ρρ^+(cos2θ)ρθ^ ……………………..(R1)

Y las componentes son:

Aρ=(sen2θ)ρAρ=(sen2θ)ρ

Aθ=(cos2θ)ρAθ=(cos2θ)ρ

Aclaración:

Lo que se ha obtenido son las componentes en coordenadas polares del campo vectorial A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^

Se ha obtenido simplemente las componentes en coordenadas polares, no son componentes covariantes, ni contravariantes, son simplemente las componentes del vector o campo vectorial, que por comodidad se escribe con el índice abajo, pero eso no indica que sean las componentes covariantes de dicho campo vectorial.

Ejemplo usando análisis tensorial:

Las coordenadas polares en función de las coordenadas cartesianas están dadas por:

x=ρcosθx=ρcosθ ; y=ρsenθy=ρsenθ

El vector A⃗ A→ en componentes contravariantes

A⃗ =Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θA→=Aρe→ρ+Aθe→θ

Por comodidad partimos de transformación de las componentes covariantes de un tensor de primer orden.

A¯α=∑j=13∂xj∂x¯αAjA¯α=∑j=13∂xj∂x¯αAj

Pasando a notación matricial:

[AρAθ]=⎡⎣∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ⎤⎦[AxAy][AρAθ]=[∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ][AxAy]

A partir de la relación entre ambos sistemas de coordenadas se calculan las diferentes derivadas parciales que aparecen en la matriz.

[AρAθ]=[cosθ−ρsenθsenθρcosθ][AxAy][AρAθ]=[cosθsenθ−ρsenθρcos⁡θ][AxAy]

Pero en realidad esta matriz no nos sirve para este cálculo, lo que nos sirve es la transpuesta de la matriz inversa de la matriz anterior, o en palabras simples, solo calcular la matriz de cofactores y dividir entre el determinante ( ya no transponer ).

Lo que realmente nos sirve es esto:

A¯α=∑i=13∂x¯α∂xiAiA¯α=∑i=13∂x¯α∂xiAi

[AρAθ]=⎡⎣∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y⎤⎦[AxAy][AρAθ]=[∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y][AxAy]

Nuestro campo vectorial dado en coordenadas rectilíneas cartesianas es:

A⃗ =yi^+xj^A→=yi^+xj^

Reemplazando en la matriz:

[AρAθ]=[cosθ−senθρsenθcosθρ][yx][AρAθ]=[cosθsenθ−senθρcosθρ][yx]

Pasando yy e xx a coordenadas polares:

[AρAθ]=[cosθ−senθρsenθcosθρ][ρsenθρcosθ][AρAθ]=[cosθsenθ−senθρcosθρ][ρsenθρcosθ]

Desarrollando. Lo que se obtiene son las componentes contravariantes del vector A⃗ A→

Aρ=(2senθcosθ)ρ=(sen2θ)ρAρ=(2senθcosθ)ρ=(sen2θ)ρ

Aθ=(cos2θ−sen2θ)=cos2θAθ=(cos2θ−sen2θ)=cos2θ

Ya tenemos las componentes. Ahora armamos nuestro vector o mejor dicho campo vectorial:

El vector es: A⃗ =Aρe⃗ ρ+Aθe⃗ θA→=Aρe→ρ+Aθe→θ

Las componentes ya las tenemos. Entonces armando el vector:

A⃗ =(sen2θ)ρe⃗ ρ+(cos2θ)e⃗ θA→=(sen2θ)ρe→ρ+(cos2θ)e→θ …………………………(R2)

Pero como ya se dijo antes, la diferencia entre los vectores de base y los vectores unitarios es un factor de escala.

En este caso:

e⃗ ρ=ρ^e⃗ θ=ρθ^e→ρ=ρ^e→θ=ρθ^

Reemplazando estos vectores en (R2)

A⃗ =(sen2θ)ρρ^+(cos2θ)ρθ^A→=(sen2θ)ρρ^+(cos2θ)ρθ^

Se llega a la misma expresión que se dio en (R1).

Luego la diferencia entre trabajar usando coordenadas curvilíneas y usando notación tensorial es el factor de escala.

Regresar a:

Regresar a: