¿Debo saber el tema de coordenadas generalizadas o el tema de sistemas de coordenadas curvilíneas, para poder entender lo que es el análisis...

No confundir el tema de coordenadas generalizadas, que se usa en Mecánica analítica para describir el movimiento de los cuerpos usando las funciones de Lagrange o de Hamilton, conocidas como Lagrangiano y Hamiltoniano respectivamente, con el tema de sistemas de coordenadas curvilíneas.

Aquí se va a ver el tema de sistemas de coordenadas curvilíneas, así como existe los sistemas de coordenadas rectangulares, también existen los sistemas de coordenadas curvilíneas, se verá algunos ejemplos , que ayudarán a comprender este tema.

Para saber la diferencia:

Coordenadas generalizadas:

Coordenadas generalizadas - Wikipedia, la enciclopedia libre

Sistemas de coordenadas curvilíneas.

Sistema de coordenadas - Wikipedia, la enciclopedia libre

http://virtual.usalesiana.edu.bo/web/contenido/dossier/22012/1774.pdf

Ahora sí contestando a la pregunta:

Normalmente se trabaja en tres dimensiones, pero aquí también se verá algunos ejemplos sencillos de sólo dos dimensiones, solamente para que se tenga una idea, de como se trabaja en sistemas de coordenadas curvilíneos.

Parte Teórica:

Consideremos que un punto P tiene las siguientes coordenadas rectangulares. P:(x,y,z)P:(x,y,z) Esas mismas coordenadas pueden ser expresadas en función de las coordenadas (variables) P:(u1,u2,u3)P:(u1,u2,u3)

De tal forma que se tiene:

x=x(u1,u2,u3)y=y(u1,u2,u3)z=z(u1,u2,u3)x=x(u1,u2,u3)y=y(u1,u2,u3)z=z(u1,u2,u3) …………..(1a)

En notación tensorial a las coordenadas cartesianas se denota mediante x1,x2x1,x2 y x3x3.

x1=x1(u1,u2,u3)x2=x2(u1,u2,u3)x3=x3(u1,u2,u3)x1=x1(u1,u2,u3)x2=x2(u1,u2,u3)x3=x3(u1,u2,u3) …………..(1b)

Entonces desde aquí no mas ya se ve esa costumbre de designar con una letra diferente a las coordenadas cartesianas y designar con la misma letra uiui a cualquier coordenada de un sistema de coordenadas curvilíneo que no sea rectangular cartesiano.

Si queremos despejar u1,u2,u3u1,u2,u3 se tiene lo siguiente:

u1=u1(x,y,z)u2=u2(x,y,z)u3=u3(x,y,z)u1=u1(x,y,z)u2=u2(x,y,z)u3=u3(x,y,z) ………………….(2)

Entonces, dado un punto PP en coordenadas rectangulares(x,y,z)(x,y,z) se le puede asociar según las relaciones anteriores un conjunto único de números (u1,u2,u3)(u1,u2,u3) al que llamaremos coordenadas curvilíneas de PP. Los sistemas de ecuaciones anteriores definen las fórmulas de transformación de coordenadas.

Aclaración 1

Para una función vectorial o campo vectorial, donde cada una de las componentes depende de el valor de sus tres coordenadas se va a usar la notación en negrita. También se va a usar la notación en vector para el campo vectorial ( flecha arriba ) Esta opción se usará preferentemente cuando ya se sepa en que sistema de coordenadas se va a evaluar dicha función vectorial. Entonces podemos escribir:

A=Ax(u1,u2,u3)i^+Ay(u1,u2,u3)j^+Az(u1,u2,u3)k^A=Ax(u1,u2,u3)i^+Ay(u1,u2,u3)j^+Az(u1,u2,u3)k^ o también:

A⃗ =Ax(u1,u2,u3)i^+Ay(u1,u2,u3)j^+Az(u1,u2,u3)k^A→=Ax(u1,u2,u3)i^+Ay(u1,u2,u3)j^+Az(u1,u2,u3)k^

En el caso de coordenadas cartesianas podemos escribir como:

A⃗ =Ax(x,y,z)i^+Ay(x,y,z)j^+Az(x,y,z)k^A→=Ax(x,y,z)i^+Ay(x,y,z)j^+Az(x,y,z)k^

Es mas, en el caso de coordenadas cartesianas, a veces se prefiere usar una notación mas compacta, escribir la función vectorial como un vector fila, entonces el campo vectorial anterior puede escribirse como:

A⃗ =[Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)]A→=[Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)] algunos autores prefieren usar la notación usando paréntesis para referirse a los vectores fila. Entonces el campo vectorial anterior puede escribirse como:

A⃗ =(Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z))A→=(Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z))

En el caso de coordenadas esféricas, podemos escribir indistintamente como:

A=Ar(r,θ,ϕ)i^+Aθ(r,θ,ϕ)j^+Aϕ(r,θ,ϕ)k^A=Ar(r,θ,ϕ)i^+Aθ(r,θ,ϕ)j^+Aϕ(r,θ,ϕ)k^ o también:

A⃗ =Ar(r,θ,ϕ)i^+Aθ(r,θ,ϕ)j^+Aϕ(r,θ,ϕ)k^A→=Ar(r,θ,ϕ)i^+Aθ(r,θ,ϕ)j^+Aϕ(r,θ,ϕ)k^

En el caso particular que el vector A⃗ A→ o el campo vectorial AA sea el vector posición.

En un sistema de coordenadas curvilíneas se escribe como:

r⃗ =u1e⃗ 1+u2e⃗ 2+u3e⃗ 3r→=u1e→1+u2e→2+u3e→3

En el caso que las coordenadas curvilíneas sean cartesianas, entonces el vector posición se escribiría asi:

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2+x3e⃗ 3r→=x1e→1+x2e→2+x3e→3

Sin embargo, para el caso del vector posición, en coordenadas cartesianas, la notación habitual es la siguiente.

r⃗ =xi^+yj^+zk^r→=xi^+yj^+zk^

Usando la forma compacta, como vector fila:

r⃗ =[x,y,z]r→=[x,y,z] ó r⃗ =(x,y,z)r→=(x,y,z)

En coordenadas esféricas cada coordenada cartesiana es:

x=rsenθcosϕy=rsenθsenϕz=rcosθx=rsenθcosϕy=rsenθsenϕz=rcosθ

Luego el vector posición se escribe como:

r⃗ =rsenθcosϕi^+rsenθsenϕj^+rcosθk^r→=rsenθcosϕi^+rsenθsenϕj^+rcosθk^

Usando la notación como vector fila:

r⃗ =[rsenθcosϕ,rsenθsenϕ,rcosθ]r→=[rsenθcosϕ,rsenθsenϕ,rcosθ]

Aclaración 2.

Hay una cierta correspondencia entre la función identidad, la matriz identidad y la función vectorial de variable vectorial vector posición.

Si nos preguntásemos ¿ Cual es la función mas básica, o elemental no trivial? Uno podría obtener diferentes respuestas. Como la función nula, la función constante y función identidad. Pero la función nula y la función constante son funciones triviales ( no hay variación ). Por esa misma razón no se toma como base a los elementos { 0, 1 } para formar la función exponencial ( tampoco se toma como base números negativos ). Por la misma razón no se toma como base de ningún sistema de logaritmos a los números { 0, 1 }. Tampoco existe logaritmos con base negativa en el campo de los números reales.

Podríamos tomar la función vectorial de variable vector mas elemental como:

A:(Au1,Au2,Au3)=(c,c,c)A:(Au1,Au2,Au3)=(c,c,c)

Pero como ya se explicó anteriormente, eso sería una función trivial sin variación. La función mas básica que presenta variación en coordenadas cartesianas sería la siguiente:

A⃗ :(Ax,Ay,Az)=(Ax,Ay,Az)=(x,y,z)A→:(Ax,Ay,Az)=(Ax,Ay,Az)=(x,y,z).

Es decir la función vectorial de variable vector mas elemental que presenta variación es la función radio vector o función vector posición. La cual es aquella que en su coordenada respectiva depende solo de un valor, que en este caso es el valor de su coordenada incluyendo también su signo. Matemáticamente no hay diferencia entre la función vectorial de variable vector, vector posición y un campo vectorial cuyo valor en cada coordenada son los mismos que los dados por el vector posición.

Figura 1. La figura de la izquierda representa la función vectorial de variable vector conocida con el nombre de vector posición. La figura de la derecha representa una función vectorial de variable vectorial o mas bien un campo vectorial en donde los valores de esta función en cada coordenada están dados por las coordenadas del vector posición.

1. Vectores unitarios en un sistema de coordenadas curvilíneas

Sea r⃗ =xi^+yj^+zk^r→=xi^+yj^+zk^ el vector posición de algún punto P. Ese mismo vector de acuerdo con llas fórmulas de transformación ( 1 ), puede expresarse como r⃗ =r⃗ (u1,u2,u3)r→=r→(u1,u2,u3). El vector tangente en P a la línea u1u1 es ∂r⃗ ∂u1∂r→∂u1 y lo denotaremos como e⃗ 1e→1. Entonces el vector unitario tangente* en la dirección y sentido de u1u1 es:

e^1=∂r⃗ ∂u1|∂r⃗ ∂u1|lo que significa:∂r⃗ ∂u1=|∂r⃗ ∂u1|e^1e^1=∂r→∂u1|∂r→∂u1|lo que significa:∂r→∂u1=|∂r→∂u1|e^1

Es decir: e⃗ 1=h1e^1e→1=h1e^1 donde h1=|∂r⃗ ∂u1|h1=|∂r→∂u1|

De forma análoga se obtienen los otros vectores de base:( no necesariamente unitarios)

e⃗ 2=h2e^2e→2=h2e^2 donde h2=|∂r⃗ ∂u2|h2=|∂r→∂u2|

e⃗ 3=h3e^3e→3=h3e^3 donde h3=|∂r⃗ ∂u3|h3=|∂r→∂u3|

Los vectores e⃗ 1,e⃗ 2e→1,e→2 y e⃗ 3e→3, son los vectores de base.

Los vectores e^1,e^2e^1,e^2 y e^3e^3, son vectores unitarios

Las magnitudes h1,h2h1,h2 y h3h3, se denominan factores de escala.

El sentido de los vectores unitarios e^1,e^2e^1,e^2 y e^3e^3 es en la dirección de crecimiento de u1,u2u1,u2 y u3u3 respectivamente y no pudiendo ser de ninguna manera en otra dirección.

En el caso de los vectores unitarios. Si se cumple lo siguiente:

e^1.e^1=1e^1.e^1=1 , e^2.e^2=1e^2.e^2=1 , e^1.e^1=1e^1.e^1=1 ………………………….……….(3a)

e^1.e^2=0e^1.e^2=0 , e^2.e^3=0e^2.e^3=0 , e^3.e^1=0e^3.e^1=0 ………………………….……….(3b)

e^1×e^2=e^3e^1×e^2=e^3 , e^2×e^3=e^1e^2×e^3=e^1 , e^3×e^1=e^2e^3×e^1=e^2 …………………(3c)

Entonces el sistema es curvilíneo y ortogonal.

2. Elemento de línea.

El vector posición en coordenadas cartesianas es:

r⃗ =xi^+yj^+zk^r→=xi^+yj^+zk^

Diferenciando:

dr⃗ =dxi^+dyj^+dzk^dr→=dxi^+dyj^+dzk^

El vector posición en coordenadas cartesianas expresado en notación tensorial:

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2+x3e⃗ 3r→=x1e→1+x2e→2+x3e→3

-Diferenciando:

dr⃗ =dx1e⃗ 1+dx2e⃗ 2+dx3e⃗ 3dr→=dx1e→1+dx2e→2+dx3e→3

El mismo vector posición en coordenadas curvilíneas es:

r⃗ =u1e⃗ 1+u2e⃗ 2+u3e⃗ 3r→=u1e→1+u2e→2+u3e→3

-Diferenciando:

dr⃗ =∂r⃗ ∂u1du1+∂r⃗ ∂u2du2+∂r⃗ ∂u3du3dr→=∂r→∂u1du1+∂r→∂u2du2+∂r→∂u3du3 …………………(4a)

dr⃗ =e⃗ 1du1+e⃗ 2du2+e⃗ 3du3dr→=e→1du1+e→2du2+e→3du3

dr⃗ =du1e⃗ 1+du2e⃗ 2+du3e⃗ 3dr→=du1e→1+du2e→2+du3e→3 ………………………………(4b)

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El diferencial de la longitud de arco dsds es el elemento de línea y viene dado por: ds2=dr⃗ .dr⃗ ds2=dr→.dr→ …………………..(5a)

En sistemas curvilíneos no ortogonales el elemento de línea viene dado por:

ds2=∑i=13∑k=13gikduidukds2=∑i=13∑k=13gikduiduk ………………………………. (5b)

Donde: gik=e⃗ i.e⃗ kgik=(hihk)(e^i.e^k)gik=e→i.e→kgik=(hihk)(e^i.e^k)

La ecuación anterior usando el convenio de índices repetidos usado en cálculo tensorial.

ds2=∑i=13∑k=13gikdxi⊗dxkds2=∑i=13∑k=13gikdxi⊗dxk ……………..………(5c)

En notación tensorial, queda expresado en una forma mas reducida:

ds2=gikdxi⊗dxkds2=gikdxi⊗dxk ………………………(5d)

gikgik : Es un tensor métrico covariante de segundo orden, el cual define la métrica del espacio vectorial en donde se está trabajando.

⊗⊗ : Operador Producto de Kronecker.

Para convertir un producto de Kronecker en un producto matricial, se hace lo siguiente:

ds2=(dxi)Tgikdxkds2=(dxi)Tgikdxk …………………..(5e)

En donde se ve claramente que , si representamos a nuestro diferencial de vector, por un vector columna, para obtener el cuadrado de ese diferencial de vector, tenemos que multiplicarlo por la transpuesta de es vector, es decir un vector fila.

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En el caso particular de sistemas ortogonales en donde se cumplen las ecuaciones (3a) y (3b) el desarrollo de la ecuación (5e) es el siguiente:

En notación tensorial:

ds2=∑i=13|e⃗ i|2(dui)2ds2=∑i=13|e→i|2(dui)2

Desarrollando:

ds2=|e⃗ 1|2(du1)2+|e⃗ 2|2(du2)2+|e⃗ 3|2(du3)2ds2=|e→1|2(du1)2+|e→2|2(du2)2+|e→3|2(du3)2

En coordenadas curvilíneas:

ds2=h21(du1)2+h22(du2)2+h23(du3)2ds2=h12(du1)2+h22(du2)2+h32(du3)2

ds2=(h1du1)2+(h2du2)2+(h3du3)2ds2=(h1du1)2+(h2du2)2+(h3du3)2

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Pregunta relacionada:

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Antes de proceder con el cálculo de algunos tensores métricos es bueno conocer como se transforman los diferenciales al pasar de un sistema sin girar a otro del mismo tipo que ha sido girado un cierto ángulo. El caso mas simple es saber como se transforman dichos elementos en el caso de un sistema cartesiano bidimensional.

Es bueno conocer como se transforman los diferenciales al pasar de un sistema ortogonal a otro sistema no ortogonal. El caso mas simple es el de un sistema cartesiano bidimensional.

También es bueno conocer como se transforman los diferenciales al pasar de un sistema curvilíneo a otro. Y además se debe saber cómo se transforman los diferentes vectores de base al pasar de un sistema curvilíneo a otro, por ejemplo en el caso de un sistema bidimensional a otro.

También sería bueno conocer como se transforman los diferenciales al pasar de un sistema curvilíneo a otro. Y además se debe saber cómo se transforman los diferentes vectores de base al pasar de un sistema curvilíneo a otro, en el caso de sistemas tridimensionales.

Cartesiano a cilíndricas.

Cartesiano a esféricas:

Cilíndricas a esféricas:

-Ejemplos tensor métrico y elemento de línea en dos dimensiones:

Para un sistema cartesiano bidimensional, que ha rotado un cierto ángulo con respecto a un sistema que permanece sin rotar y para un sistema no ortogonal que ha sido contraído un cierto ángulo.

En estos dos casos, los vectores de base son unitarios, por lo tanto los factores de escala son | hihi| = 1 para i = 1,2

En ambos casos para pasar de un sistema cartesiano a otro sistema rotado o contraído se ha usado las siguientes transformaciones:

[dxdy]=⎡⎣∂x∂x′∂y∂x′∂x∂y′∂y∂y′⎤⎦[dx′dy′][dx′dy′]=⎡⎣∂x′∂x∂y′∂x∂x′∂y∂y′∂y⎤⎦[dxdy][dxdy]=[∂x∂x′∂x∂y′∂y∂x′∂y∂y′][dx′dy′][dx′dy′]=[∂x′∂x∂x′∂y∂y′∂x∂y′∂y][dxdy]

Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.

dxi=∑j=12∂xi∂x¯jdx¯jdx¯j=∑i=12∂x¯j∂xidxidxi=∑j=12∂xi∂x¯jdx¯jdx¯j=∑i=12∂x¯j∂xidxi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de jj en el segundo caso.

Se está usando la notación dxidxi para referirse a los diferenciales en coordenadas cartesianas bidimensionales originales y se está usando la notación dx¯jdx¯j para referirse a los diferenciales de un sistema cartesiano que ha sido rotado o contraído.

Para un sistema ortogonal bidimensional no cartesiano.

En este caso no todos los vectores de base son unitarios por lo que se tiene que algunos factores de escala son | hihi| ≠≠ 1 para algún valor de ii.

Para pasar de un sistema cartesiano a otro sistema curvilíneo, en este caso, un sistema de coordenadas polares, se ha usado las siguientes transformaciones:

[dxdy]=⎡⎣∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂θ∂y∂θ⎤⎦[dρdθ][dρdθ]=⎡⎣∂ρ∂x∂θ∂x∂ρ∂y∂θ∂y⎤⎦[dxdy][dxdy]=[∂x∂ρ∂x∂θ∂y∂ρ∂y∂θ][dρdθ][dρdθ]=[∂ρ∂x∂ρ∂y∂θ∂x∂θ∂y][dxdy]

Si queremos usar la notación sumatoria, para indicar ambas transformaciones, se escribiría de la siguiente forma.

dxi=∑α=12∂xi∂x¯αdx¯αdx¯α=∑i=12∂x¯α∂xidxidxi=∑α=12∂xi∂x¯αdx¯αdx¯α=∑i=12∂x¯α∂xidxi

Para cada valor de ii en el primer caso y para cada valor de αα en el segundo caso.

Se está usando la notación dxidxi para referirse a los diferenciales en coordenadas cartesianas y se está usando la notación dx¯αdx¯α para referirse a los diferenciales de cualquier otro sistema de coordenadas curvilíneas.

-Ejemplos tensor métrico y elemento de línea en sistemas ortogonales tridimensionales.

Tensor métrico y elemento de línea para coordenadas cilíndricas.