¿Hay otros sistemas de coordenadas además de cartesiano y polar?

A2A*. Por supuesto que sí. Y algunos de ellos son particularmente útiles por ejemplo te presento a las coordenadas elípticas[1]:

Yo las habré empleado 3 o 4 veces en mi vida, por ejemplo si quieres encontrar las trayectorias de una carga eléctrica sometida al campo de cargas opuestas e iguales. O si pretendes resolver la ecuación de Schrödinger para una molécula de hidrógeno, en estas coordenadas la función de onda puede ser resuelta mediante el método de separación de variables (sin emplear estas coordinadas no tengo idea de cómo calcularlas). También algunos problemas de mecánica clásica son sencillos si empleas coordenadas elípticas.

Además de las elípticas otras que tienen cierta utilidad en problemas particulares son las coordenadas parabólicas o las coordenadas bipolares. En 3D tienes muchísimos casos más (cilíndricas parabólicas, paraboloidales, cilíndricas elípticas, esferoidales alargadas y achatadas, toroidales, cónicas, elipsoidales homofocales, paraboloidales homofocales, etc.)

De hecho en el plano puedes definir una infinidad de sistemas de coordenadas cuvilíneos sin más que considerar funciones f:U⊂R→R2f:U⊂R→R2, si usas variable compleja y defines z=x+iyz=x+iy muchas funciones holomorfas h:C→Ch:C→C te permiten construir cambios de coordenadas sin más que considerar la parte real e imaginaria de dicha función:

h(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)h(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

Notas al pie