¿Cómo construyo un sistema de coordenadas curvilíneas S(u,v) sobre la superficie de una esfera, para hacer un cambio a coordenadas rectangulares...

Encontrar un mapa global es imposible puesto que una superficie esférica es un espacio compacto y el plano no lo es, lo que si se puede hacer es dar un conjunto de cartas locales que recubran toda la superficie esférica, es decir una familia de pares (Ai,fi)(Ai,fi) tales que cada AiAi es un conjunto de la superficie esférica y cada fifies una aplicación de AiAi en R2R2 que cumple la restricción: cualesquiera que sean los índices i, j si AiAi yAjAj tienen intersección no vacía fi−1∘fj:(Ai∩Aj)→R2fi−1∘fj:(Ai∩Aj)→R2 es una función de clase CnCn para n≥0n≥0. Cada par de la familia se llamará mapa o carta de la esfera, y a la familia se llama atlas. Un atlas puede dar a la esfera una estructura de variedad de clase CnCn si n=0 se llamará variedad topológica y si n>0 se llama variedad diferenciable. Dados dos atlas se dice que son equivalentes si la unión de ambos continua siendo un atlas (es imprescindible que se cumpla la condición de compatibilidad en la intersección de cualquier par de cartas. Si son equivalentes ambos dotan al conjunto de la misma estructura de variedad diferenciable.

Consideraba imprescindible poner este "rollo" previamente a responder la pregunta inicial. Como podrás ver cuando tomas atlas del Globo Terráqueo es que puede haber muchas formas de representar la esfera "a trozos planos" la más usual es representarlo mediante proyecciones paralelas de un casquete sobre el plano y eso es útil sobre todo si no dispones de GPS pero no hay ninguna forma intrínseca de definir cada AiAi y cada fifi lo más usual es que se tome el sistema de coordenadas curvilíneo (el atlas) más adaptado al problema que intentas resolver.