¿Cómo demuestras sin hacer ningún cálculo, que una piscina rectangular llena de pelotas de tenis de 7cm de diámetro y otra piscina igual pero llena...

La manera más sencilla e intuitiva es imaginar una piscina llena de pelotas de tenis de 7cm. Las pelotas llenan la piscina pero que dejan un espacio vacío entre ellas

Otra piscina cuyas dimensiones sean la mitad (1/2largo, 1/2ancho y 1/2alto) de la piscina anterior llena de pelotas de ping-pong de 3,5 cm

Las dos contienen el mismo número de pelotas pero el volumen de la piscina grande es 8 veces mayor que el de la piscina pequeña (2veces más larga x 2 veces más ancha x 2 veces más profunda)

El experimento mental:

ampliemos mentalmente la piscina pequeña por un factor 2 aumentos
Qué tenemos?
La piscina grande

Las longitudes se han multiplicado por 2, las superficies por 4 y los volúmenes por 8. pero las relaciones entre esas medidas de volumen se mantienen.

La razón matemática es que la proporción entre el volumen de la piscina y el volumen de los huecos vacíos es un número sin dimensiones, un porcentaje y por lo tanto un invariante de escala.

Además da igual la forma de la piscina (rectangular, cilíndrica o cualquier otra) da igual que metamos bolas esféricas, calabazas, pepinos o cualquier otra cosa siempre que mantengamos la forma de los objetos grandes y pequeños

Ni siquiera hace falta que la piscina sea infinita para evitar la distorsión de los bordes.
Solo basta que la disposición de las bolas sea la misma en las dos piscinas

Siempre la proporción entre volúmenes se mantiene y se ha calculado que en el caso del empaquetamiento óptimo (hexagonal) es 74,05% ocupado y 25,95% vacío

Un poco de historia del problema

Que la densidad máxima de espacio ocupado es la distribución del frutero
(hexagonal) se llama Conjetura de Kepler (1611) y la demostró Gauss en 1831 para el caso particular de empaquetamientos reticulares.
En 1900 David Hilbert en su problema número 18 introduce la conjetura de Kepler como uno de los problemas para resolver en el siglo XX.
En 1998 Thomas Hales la demuestra en el caso general con matemática computacional.
En el caso de dos dimensiones (círculos que empaquetan un rectángulo), el
empaquetamiento máximo también es el hexagonal y la densidad es pi/raíz(12)=90,69% calcularlo es muy complicado pero en el caso tridimensional (bolas en
una piscina) el cálculo solo ha sido posible con ordenador y es pi/raíz(18) =
74,05%