¿A qué equivale “la raíz cúbica de x al cubo”?

Bueno, esto es más interesante de lo que pudiera parecer.

Lo primero es lo primero, eso se podría interpretar de dos formas: como x3−−√3x33 o como (x−−√3)3(x3)3.

Vale, ahora vamos a responder a la pregunta.

Números reales (RR)

Vale, esto es sencillo, en RR, esas dos expresiones son equivalentes.

x3−−√3=(x−−√3)3=xx33=(x3)3=x

Podríamos decir que la raíz cúbica y la potencia al cubo "se anulan", "se cancelan" o " se neutralizan" mutuamente. Esto sucede porque la función f(x)=x3f(x)=x3 y la función f−1(x)=x−−√3f−1(x)=x3 son funciones inversas.

Ejemplo cuando x=8x=8:

83−−√3=512−−−√3=8833=5123=8

(8–√3)3=23=8(83)3=23=8

Números complejos (CC)

Bien ahora la cosa se complica. Primero, déjame sustituir xx por zz, que es más habitual usar como variable en CC.

Bien, ahora viene el problema. Resulta que la función f(z)=z3f(z)=z3 ya no es inyectiva (como sí lo era en RR). Eso conlleva que la función f−1(z)=z√3f−1(z)=z3 ahora tiene que ser lo que llamamos una función multivaluada. Quiere decir que para un valor de zz existe más de un valor para z√3z3. Entonces habrá que tener esto en cuenta. Lo primero es ver qué es eso de la raíz cúbica compleja. Dicho rápidamente es esto:

z√3=z13=(|z|ei(arg(z)+2kπ))13=|z|13ei⋅arg(z)+2kπ3=|z|−−√3ei⋅arg(z)+2kπ3,k∈Zz3=z13=(|z|ei(arg(z)+2kπ))13=|z|13ei⋅arg(z)+2kπ3=|z|3ei⋅arg(z)+2kπ3,k∈Z

No te preocupes, no vamos a hacer nada con esa definición, es sólo para que veas que en los complejos, la cosa no es tan sencilla.

Como puedes ver, ahí hay un entero kk que puedes elegir a tu gusto. Si el valor de kk es uno de estos

…−6,−3,0,3,6,9……−6,−3,0,3,6,9…

obtendrás un resultado. Si es uno de éstos

…−5,−2,1,4,7,10……−5,−2,1,4,7,10…

obtendrás otro, y si es uno de éstos

…−4,−1,2,5,8,11……−4,−1,2,5,8,11…

obtendrás otro. La raíz cúbica está multivaluada con tres valores.

Como sólo hay tres resultados posibles, podemos restringir los valores que puede tener kk sin perder resultados. Así que no es necesario que k∈Zk∈Z, basta con que k∈{0,1,2}k∈{0,1,2}.

Bien ya estamos muy cerca de la respuesta. Antes, permíteme renombrar la función f−1f−1 para que sea todo más claro.

f−1(z)=R(z)=z√3f−1(z)=R(z)=z3

Ahora es la función RR. Así es más sencillo.

Bien. RR es una función multivaluada, pero la podemos "separar" en tres funciones monovaluadas, fijando el valor de kk.

R0(z)=z√3,k=0R0(z)=z3,k=0

R1(z)=z√3,k=1R1(z)=z3,k=1

R2(z)=z√3,k=2R2(z)=z3,k=2

Esas tres funciones son lo que llamamos las "ramas" de la función multivaluada RR.

Bien, para poner un ejemplo, vamos a ver las raíces cúbicas de 88.

R0(8)=2R0(8)=2

R1(8)=−1+i3–√R1(8)=−1+i3

R2(8)=−1−i3–√R2(8)=−1−i3

Como puedes ver, uno de los resultados es el mismo que el que esperaríamos en RR.

Bien, ya llegamos a la respuesta.

Tenemos dos expresiones: z3−−√3z33 y (z√3)3(z3)3. Voy a hacer uso de mi función RR para que quede todo claro. Empiezo primero con la segunda expresión.

(z√3)3=[R(z)]3(z3)3=[R(z)]3

He empezado por esta expresión por que es la más fácil de ver. Estamos elevando al cubo la(s) raíz(raíces) cúbica(s) de zz, pero, por definición, la raíz cúbica de zz es un número que, elevado al cubo, es igual a zz. Quiere decir que eso ha de ser igual a zz, independientemente de la rama de la función que escojamos.

(z√3)3=[R(z)]3=[R0(z)]3=[R1(z)]3=[R2(z)]3=z(z3)3=[R(z)]3=[R0(z)]3=[R1(z)]3=[R2(z)]3=z

Supón que z=8z=8

[R0(8)]3=23=8[R0(8)]3=23=8

[R1(8)]3=(−1+i3–√)3=8[R1(8)]3=(−1+i3)3=8

[R2(8)]3=(−1−i3–√)3=8[R2(8)]3=(−1−i3)3=8

Bien, ahora vamos con la otra expresión:

z3−−√3=R(z3)z33=R(z3)

Ahora lo que estamos haciendo es tomar la raíz cúbica del cubo de zz. Pero como la raíz cúbica está multivaluada, eso va a tener no un valor, sino tres. Uno de ellos será zz, y los otros serán el producto de zz por una de las raíces cúbicas de 11

Bueno, ejemplo cuando z=2:z=2:

R0(23)=R0(8)=2R0(23)=R0(8)=2

R1(23)=R1(8)=−1+i3–√R1(23)=R1(8)=−1+i3

R2(23)=R2(8)=−1−i3–√R2(23)=R2(8)=−1−i3

Y con eso creo que no hay nada más que decir. ¡Hasta otra!