¿Para qué sirve la raíz cúbica?

Contestaré a esta pregunta con una condición: que después nadie pregunte para qué sirve la raíz cuarta, y luego para qué sirve la raíz quinta…y siga ad infinitum formando una sucesión numerable de preguntas del mismo jaez…

La raíz cúbica resuelve el problema de hallar un número cuyo cubo sea igual a un número dado de antemano.

Por ejemplo, si queremos encontrar cierto número x tal que x³=8, tendremos que calcular la raíz cúbica de 8, y ese número, por definición, tiene que dar 8 cuando se eleva al cubo. El resultado es 2, y se escribe ³√8=2.

Se llama al 8, radicando, al resultado 2, raíz cúbica, y al pequeño nº 3, que indica que la raíz es cúbica, se le llama índice. Lo mismo para raíces de índice superior (cuartas, quintas…etc). En el caso de la raíz cuadrada es costumbre omitir el índice 2, se sobrentiende por lo frecuente de su uso, pero no sería incorrecto escribirlo.

Entre los números enteros y aún racionales no siempre existe la raíz cúbica: por ejemplo, no existe ningún número racional cuyo cubo sea exactamente 2.

Entre los números naturales que no tienen raíz cúbica exacta, se define la raíz cúbica entera de n, por defecto, como el mayor entero cuyo cubo no supera a n. Y la raíz cúbica por exceso al menor entero cuyo cubo supera a n. Ambas raíces cúbicas enteras existen siempre para cada n€N.

Análogamente, la raíz cúbica en menos de 1/k de un nº entero positivo (bien sea por defecto o por exceso) se define como (1/k)* ³√(nk³), tomando ésta última raíz cúbica en menos de una unidad (por defecto o por exceso, respectivamente).

Entre los números reales existe siempre la raíz cúbica de a , para todo a€R, y es única. En los números complejos, la raíz cúbica de 0 existe y tiene un único valor =0, y la raíz cúbica de cualquier z≠0 existe siempre y tiene tres valores distintos. Si z es real ≠0, su raíz cúbica tiene siempre un valor real y dos valores imaginarios conjugados.

Como se pregunta por la utilidad de esta operación, consideremos el siguiente problema sencillo y útil:

PROBLEMA:

Queremos construir una pecera de vidrio de forma esférica que contenga exactamente 1000 litros de agua cuando está llena. ¿Qué diámetro debe tener?

Solución: 1000 litros de agua en la pecera corresponden a 1m³ de volumen (bueno, en condiciones "normales" de presión y de temperatura del agua de la pecera, claro: que no esté congelada ni vaporizada, por ejemplo).

El volumen de una esfera de radio R es V=(4/3) * π * R³.

Suponiendo R expresado en metros, tenemos:

(4/3) * π * R³ = 1 → despejando R³=3/(4π) luego si conocemos R³, hallaremos R mediante una raíz cúbica:

R=³√[3/(4π)]=0.620350490899400016668006812047778167350786200186001620098...metros, es decir, R= muy poquito más de 62 cm.

Como nos pedían el diámetro, será el doble del radio,

D=2R= (prácticamente) 1.2407 metros.

De modo que solo con un diámetro de 1 metro y 24 cm, aproximadamente, esa esfera tendrá mil litros de capacidad. Pero el cubo (hexaedro regular) de 1 metro de arista también tiene 1000 litros, o 1 m³ de capacidad, de modo que la esfera debe tener un diámetro un poco mayor de 1 m, porque si solo tuviera 1 m de diámetro cabría exactamente dentro de ese cubo de arista 1 metro, y su volumen sería apreciablemente menor que 1 m³.