¿Por qué es importante la teoría de números?

La teoría de números se resume en estudiar las propiedades de los números, los enteros en gran parte. Estas propiedades son: números primos, representaciones de números como sumas de otros, números irracionales, números trascendentes…

Es una rama de las matemáticas que se sub-clasifica en muchas:

• Teoría analítica de números
• Teoría algebraica de números
• Teoría combinatoria de números
• Teoría computacional de números

y más (Formas modulares, aritmética de números, geometría de números…).

Los griegos trataron problemas relacionados con el tema, como las soluciones enteras a ecuaciones lineales con dos incógnitas. Conforme a como avanzaba el tiempo y las épocas surgían nuevos problemas; Pitágoras al aplicar su teorema (en realidad este teorema no es de Pitágoras. Este teorema se sabía desde antes de los pitagóricos) al triángulo con catetos iguales a uno, supo que la hipotenusa no tenía un tamaño entero, Arquímedes notó que la razón del perímetro del círculo y el diámetro era constante, ᴫ, el problema se presentó al querer saber si era racional…

El componente principal en la teoría de números, son los números primos.

Un número se dice primo si es diferente de uno y sus únicos divisores son uno y él mismo.

Los números primos forman el componente principal en el estudio de los números enteros, todo esto por el teorema fundamental de la aritmética

Todo número entero positivo se factoriza de manera única en el producto de potencias de números primos

Y como es de esperarse…

Existen infinitos números primos

Euclides

Esto hace parte de algo que se llama teoría elemental de números. Los grandes avances se ven cuando se logra relacionar estos conceptos con otras ramas, como el análisis real y complejo, el álgebra, teoría ergódica (La teoría ergódica se dedica principalmente al estudio matemático del comportamiento promedio a largo plazo de los sistemas dinámicos. En matemáticas, una transformación T que preserva la medida en un espacio medible se dice que es ergódica si todo conjunto medible que es invariante bajo la transformación T, tiene medida 0 o 1. Existen dos teoremas fundamentales en la teoría ergódica, el de Birkhoff y el de John von Neumann; se cree que aunque el de Birkhoff se publicó con anterioridad, el de von Neumann se demostró antes. El teorema de von Neumann refiere a convergencia en L1, mientras que el de Birkhoff refiere a convergencia puntual - Wikipedia), geometría, topología, combinatoria, probabilidad, etc.

Todo lo anterior consigue enriquecer la materia, dándole herramientas para su búsqueda de propiedades y logrando avances significativos. A modo de comentario personal, Dirichlet y Euler concibieron una rotura en la forma como se estudiaba la teoría de números. Euler con su ¡refutable! fórmula (ambos miembros de la igualdad divergen)

Y su afirmación

En sentido de que la suma de los inversos de los primos diverge como el logaritmo del logaritmo.

Dirichlet, con su brillante teorema, más importante la forma en la cual lo prueba,

Si a y b son primos relativos (dos números se dicen primos relativos si los primos en la factorización del primero, no aparecen en la factorización del segundo), entonces la progresión aritmética ax + b tiene infinitos primos

Fueron los que mostraron una luz de lo que hoy se denomina teoría analítica de números.

La gama de resultados acerca de teoría de números usando estas herramientas es amplia.

Si bien es importante conocer de donde surge la teoría de números, más interesante es ver qué propone, ver a fondo las preguntas que trata y las soluciones que logra.

1. Conjetura: Todo número par mayor a cuatro puede escribirse como la suma de dos primos.

Goldbach

2 . Teorema: La ecuación

no tiene soluciones enteras si

Fermat – Wiles

3. Conjetura: Existen infinitos primos p tales que p + 2 es primo.

4. Teorema: Todo número positivo puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados.

Waring

5. Conjetura: Los ceros no triviales de la función Zeta de Riemann, tienen parte real 1/2

Riemann

6. Teorema: Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes.

Green – Tao