¿Cuáles son algunos teoremas o conceptos en teoría de números que te parecen hermosos?

Es difícil escoger un teorema porque la mayoría de teoremas en teoría de números son de una profundidad estética fuera de lo común. Y en gran parte es debido a la imaginación que requieren sus demostraciones, casi siempre alejadas (a veces muchísimo) del campo sobre el que esperaríamos que estuvieran las herramientas que se necesitan para probar el teorema. En otras ramas de la matemática, aun ignorando cómo demostrar un teorema suele ser "algo más fácil" intuir por dónde hay que buscar, pero en teoría de números es muy frecuente que la demostración involucre técnicas de ramas de la matemática aparentemente alejadas del contexto donde surge el problema.

El gran experto en lógica que fue Augustus De Morgan dijo:

El poder de la invención matemática no es el razonamiento, sino la imaginación.

Claro, De Morgan, aun teniendo padres británicos, había nacido en la India, como Ramanujan, y como Kipling -el escritor- y eso imprime carácter.

Felix Klein, el profesor de Göttingen (1886), el hombre entregado a la botella ¡pero a la botella de Klein! (Kleinsche Flasche, una botella que no cabe en tres dimensiones y no contiene cerveza sino bandas de Möbius); uno de los matemáticos con mayor sentido artístico de su tiempo, afirmaba que una de las joyas de la teoría de números es la

Ley Gaussiana de la Reciprocidad Cuadrática: THEOREMA AUREUM

(p/q)(q/p)=(-1)^ [ {(p-1)/2} * {(q-1)/2} ] , si p y q son primos impares distintos.

Aquí el signo (a/p) representa el símbolo de Legendre, definido -para todo primo impar p, y a entero- como 1 si a es un resto cuadrático, -1 si a es un no resto cuadrático módulo p, y 0 si p es divisor de a. Se llama resto cuadrático módulo p a cualquier entero r€ Z tal que la ecuación de congruencia x²≡r (mód. p) tiene solución, y no resto en caso contrario.

Las aplicaciones y consecuencias de la Ley de reciprocidad cuadrática, descubierta por Euler y demostrada por primera vez por Gauss, son inacabables, y es muy sorprendente que la cualidad de resto o no resto de p respecto de q, pueda estar intrínsecamente relacionada con la cualidad simétrica de q respecto de p.

Otro teorema que no puede dejar de mencionarse, en relación con los números primos, es el Teorema de los números primos, demostrado independientemente por De la Vallé Poussin y Hadamard, en 1896 ; si se representa por π(x) la cantidad de números primos ≤ x, el llamado teorema de los números primos, básicamente (hay algunas formulaciones aún más refinadas, pero menos claras para el lector no versado en el tema), afirma que:

Lím π(x) {log x}/x} =1 cuando x→∞, y una afirmación equivalente es la siguiente: si se ordenan los números primos por su orden de aparición, el primo n-simo se puede estimar asintóticamente, es decir Pn~n log n, o sea, no sabemos aún calcular directamente el primo n-simo, pero cuanto más grande sea n ,

mejor será la aproximación asintótica n log n. Por supuesto, la base de los logaritmos neperianos es el omnipresente número e, que asombrosamente, se relaciona directamente con la distribución de los números primos (!).

Del históricamente llamado Último Teorema de Fermat (en realidad, teorema de Wiles, 1995) se han escrito libros enteros, y aunque solo fuera por su extraordinaria dificultad, su misterio, sus anécdotas irrepetibles y por todos los estupendos regalos que su demostración ha traído para poderse aplicar a otros problemas, ya valdría la pena mencionarlo.

Si n es entero, n>2, no existen enteros positivos x, y, z tales que x^n+y^n=z^n

Hay otro teorema apasionante, menos citado en obras de divulgación, tal vez porque es más técnico, y es el

Teorema de Dirichlet (sobre primos en progresiones aritméticas):

Si en una progresión aritmética de razón k>0 el primer término h y la razón k son primos entre sí, en la progresión entera aparecen infinitos números primos.

O dicho de otro modo, si k>0, y MCD(h, k)=1 en la progresión aritmética infinita: h, h+k, h+2k, h+3k…, h+nk… hay infinitos números primos.

Tanto la demostración original de Dirichlet, después de haber sido simplificada muchas veces por montones de expertos, y aún sustituida en parte por otras o reconstruida y modernizada en algunos puntos, como las que se han propuesto después, continúan siendo penosas de seguir y requieren toda clase de armas estratégicas de gran alcance, como el análisis complejo, la teoría de grupos, lemas tremendamente duros de establecer…un laberinto vertiginoso.

Hay varios resultados parciales y "modestos" sobre el Problema de Waring que requieren integrales curvilíneas complejas para demostrar, por ejemplo, que

todo entero positivo es la suma de, como máximo, 54 quintas potencias.

(Ahora sabemos que el 54 se puede reducir a 37).

El problema de Waring (propuesto por él en 1779) fue resuelto en teoría por Hilbert (1909), pero en la práctica tiene flecos abiertos todavía cuando se trata de explicitar algunos valores numéricos exactos; pide demostrar que:

Dado un exponente n entero>1, hay un entero positivo g(n) de manera que todo entero positivo es suma de g(n) n-simas potencias.

El clásico trabajo de los extraordinarios ingleses Hardy y Littlewood (entre 1920 y 1928), que introdujeron la G mayúscula [G(n) se define como el nº exacto de modo que todo entero sea suma de G(n) n-simas potencias desde cierto entero en adelante] y la contribución al problema del prodigioso ruso Vinográdov (primera mitad del siglo XX) necesitan tantos preliminares para poder abordarlos que la mayor parte de expertos en otras ramas de la matemática no pueden ni siquiera seguirlos. La G mayúscula sigue siendo un fleco abierto en el problema de Waring.

Hardy y Littlewood probaron en los años 20 que G(n)≤ (n-2) 2^(n-1) + 5.

Se sabe (Kubina and Wunderlich, 1990) que:

g(n) = 2^n + floor((3/2)^n) - 2 para todo n ≤ 471 600 000.

[floor(x) representa la parte entera de x]. Se conjetura que esta fórmula es cierta para todo n€N (!!!!). Por eso, g(5)=2⁵+floor(3/2)⁵ -2=32 + 7–2=37, como se ha mencionado antes, o sea, todo entero positivo es suma de 37 quintas potencias (algunas pueden ser cero).

Para valorarlo debidamente, intente el lector demostrar por sí mismo el bello teorema de Lagrange, sin ver la demostración antes, es decir, que

Cada entero positivo es la suma de cuatro cuadrados (algunos pueden ser cero), lo que prueba que en el caso de exponente 2 en el problema de Waring, es g(2) =4 (el caso más "sencillito", y se puede probar con armas elementales, pero con un trabajo fino y nada trivial).

La función ζ en teoría de números y análisis también es algo fascinante y perturbador.

Casi siempre se habla de ella en relación con la hipótesis de Riemann, pero tiene mucho más guardado en su caja fuerte…

Sabemos que si x es real y mayor que 1, es:

ζ(x)=1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + …;

puesto que la serie converge cuando el exponente x sea real>1.

La demostración de Apèry (1978) de que ζ(3) es irracional produce una mezcla entre estupor y risa cuando se llega a la conclusión de que no es creíble que eso se le ocurra absolutamente a ningún congénere humano, y que sin duda ha sido "inspirado" por extraterrestres…

Apèry (1916–1994), francés de origen griego, creó una sorpresa mundial cuando demostró su teorema con 62 años, y nunca pudo explicar él mismo cómo se le había podido ocurrir aquello…

Como sabemos, los valores pares de la función ζ se expresan en función de potencias de exponente par del número π y los números de Bernouilli; por ejemplo,

ζ(2)=π²/6; ζ(4)=π⁴/90; ζ(6)=π⁶/945; etc, pero para los valores de ζ en enteros impares no se conoce fórmula cerrada, en un nº finito de términos, y se ignoraba incluso si cualquiera de sus valores para enteros impares era trascendente o por lo menos, tan solo si eran o no irracionales. La fracción continua que definió Apèry todavía sigue siendo un ejemplo del misterio que puede habitar en las grutas del pensamiento, y aun visto mil veces sigue preguntándose todo el mundo cómo o por donde se puede llegar a concebir algo así.

"Naturalmente", los números naturales son de lo más enigmático que ha producido la imaginación humana.