¿Por qué las soluciones a los problemas de teoría de números suelen ser tan complicadas? ¿Estaremos abordando mal los problemas? ¿Habrá que...

Porque la teoría de números es en matemáticas como la especialidad de medicina interna en Medicina, lo abarca todo, y los métodos para resolver un problema, y hasta menos aún, solo para encuadrar el problema en una dirección adecuada, pertenecen a todas las ramas de las matemáticas.

La razón de su dificultad tan extraordinaria realmente no la sabemos, pero lo que es innegable es que con todos los grandísimos genios que se han dedicado a la teoría de números, los problemas resueltos son poquísimos y de hecho no hay otra rama de las matemáticas que tenga tantos problemas centrales abiertos desde hace siglos, como el problema de encontrar todos los números perfectos y averiguar si hay alguno impar, que se remonta a la Grecia clásica. La constructibilidad de polígonos regulares exclusivamente con regla y compás, aunque aclarada aritméticamente por Gauss, depende al final de los números primos de Fermat, y de facto seguimos sin saber si hay o no una cantidad infinita de polígonos con un número primo de lados que sean constructibles, otro problema griego.

Con los números primos ya es exagerado: muy pocos problemas importantes se han podido resolver, y el teorema de los números primos, que es una belleza y desempeña un papel fundamental en la teoría analítica de números, no da más que aproximaciones asintóticas, de ninguna manera exactas, de la manera en que surgen los números primos unos tras otros. El problema de los primos gemelos (si hay o no infinidad de parejas de primos cuya diferencia sea 2), el problema de Goldbach (si es cierto o no que todo número par es suma de dos primos) y muchos más, no se sabe ni por dónde atacarlos.

Sin duda hay dos cosas que podemos afirmar taxativamente:

1. Los números naturales son muy misteriosos, no se les puede subestimar.
2. El ingenio humano es todavía demasiado escaso, haría falta inteligencias mucho más penetrantes que las que hasta ahora se han dedicado a la teoría de números, lo cual es asombrosamente frustrante solo con recordar a los prodigiosos Cauchy, Lagrange, Euler, Gauss, Jacobi, Chebyshev, Kummer, Dedekind, Dirichlet, Kronecker, Vinogradov, Ramanujan, Hardy y Littlewood, Sierpinsky, Ulam, Selberg, Erdös, Polya, Faltings, Wiles…y tantos otros más.

Por dar un solo ejemplo de las cosas extrañas que suceden en teoría de números, citemos, como un ejemplo que ha dado lugar a libros enteros, la ecuación de Pell, un enigma todavía hoy día, como los grandes enigmas de las civilizaciones antiguas, aunque ya sabemos bastantes cosas de ella, incluso resolverla, gracias a Lagrange, el primero que demostró que siempre es soluble en enteros positivos y dio un método para encontrar todas las soluciones, y después gracias a muchos otros, especialmente Legendre y Dirichlet, pero sigue teniendo puntos oscuros, y las sospechas de que pueda generalizarse de algún modo a grados superiores prácticamente no han podido dar fruto alguno. Pell no tuvo nada que ver, el problema es de Fermat, pero el error de atribución ya no se corrigió.

X²-dY²=1 es la ecuación de Pell, una ecuación diofántica (es decir, se buscan como soluciones números enteros positivos para X, Y), donde d es un entero positivo no cuadrado perfecto. El colmo de la perspicacia es darse cuenta de que las soluciones buscadas son ciertas fracciones reducidas en el desarrollo en fracción continua simple infinita de SQRT(d) (raíz cuadrada de d), pero aún sabido eso no tiene explicación alguna la especie de “discontinuidad”, por llamarla de algún modo, de las soluciones mínimas con respecto a valores próximos de d. Para dar un ejemplo concreto, con d=990, la solución mínima (con los valores mínimos para X, Y) es:

X²-990Y²=1 → X=881, Y=28.

Con d=992, la ecuación tiene la solución mínima:

X²-992Y²=1 → X=63, Y=2. Pero cuando d vale 991, el entero intermedio entre 990 y 992:

X²-991Y²=1 → ocurre algo absolutamente impensable: la solución “mínima” es:

X= 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080 (30 dígitos)

Y= 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

En el caso d=1000099, la solución mínima para x tiene 1118 cifras.

No comprendemos a qué se debe este fenómeno, ni a qué otros problemas de teoría de números puede afectar. De modo que las dificultades son extraordinarias; solo en el campo de las ecuaciones diofánticas se considera una gran éxito resolver un problema numérico concreto, porque métodos “generales” hay poquísimos, fuera de los casos elementales.

La demostración de Wiles (1995) del “Último teorema de Fermat” (la ecuación diofántica más famosa) no es de tipo “aritmético” como se hubiera esperado, sino que emplea poderosos resultados de geometría algebraica y muchas otras armas sofisticadas del siglo XX; ni siquiera está comprobada en todos sus detalles, por ahora parece que es correcta, pero se basa en miles de resultados previos complejísimos, que no están al 100% libres de error.

Para colmo, el décimo problema de la lista de 23 problemas que Hilbert lanzó a los matemáticos de la posteridad, pedía determinar un algoritmo que en un número finito de pasos decidiera si una ecuación diofántica cualquiera tiene o no solución.

Matiyasevich, después de trabajar 20 años en ese décimo problema de Hilbert, demostró en 1970 que tal algoritmo no existe (!!).

Gauss dijo una vez:

La matemática es la reina de las ciencias; la teoría de números es la reina de las matemáticas.

Hemos construido la matemática, pero sin duda es un monstruo infinitamente más potente que sus propios creadores.