¿Qué problema matemático motiva la creación de los números complejos C?

Es curioso lo poco conocida que es la respuesta a esta pregunta.

La historia de las matemáticas, desde luego en España, pero también en muchos otros países, se considera como una curiosidad complementaria, para estudiantes con tiempo libre y muchísimo interés. Nada más equivocado, desde todos los puntos de vista, por supuesto el didáctico en primer lugar; y sorprendentemente es un error incluso desde el punto de vista auténticamente práctico (y no practicón, claro está), porque resta a los estudiantes inventiva y comprensión profunda de los problemas y de las situaciones matemáticas, incluida la génesis de las buenas ideas; pero un aforismo mío afirma:

"Cuando te equivoques, procura arrastrar a tanta gente a tu favor, que los equivocados parezcan los otros".

(Aforismo M-6, véanse Obras Incompletas e Inútiles de Ricardo Ramírez, tomo segundo…).

Citarse uno mismo es la pedantería más insufrible en que se puede caer…pero bueno…¡qué se le va a hacer! Este aforismo me parecía pertinente.

No puedo extenderme en una respuesta completa a esta interesantísima pregunta, pero los hechos básicos son éstos:

Nadie estuvo inquieto, durante toda la Edad Media, porque las ecuaciones

x²+1=0, x²+3=0, x²+a²=0 (a≠0), x² + 4/9=0, etc. no tuvieran solución real (en lenguaje actual, porque los números reales eran solo una imagen fugaz y difusa en la mente matemática de esa época). Se admitía que no hay valor de x positivo ni negativo ni nulo, ni de ninguna clase, que cumpla, por ejemplo, x²= -16.

Los libros (y no son pocos) que afirman que los números complejos se inventan para que tengan solución todas las ecuaciones cuadráticas están mal documentados, y punto.

La fábrica de los números complejos es la fórmula de Cardano para resolver las ecuaciones cúbicas del tipo x³+px+q=0, con p y q reales, tales que:

q²/4 + p³/27<0 (el llamado caso irreducible - o irreductible -, en el que la ecuación cúbica reducida, o sea, la incompleta sin término cuadrático, como la anteriormente citada, admite tres raíces reales distintas).

A partir de la genial intuición de Bombelli, algebrista italiano del Renacimiento (1526–1573), todos empiezan a dar vueltas a la solución de "su" ecuación cúbica predilecta:

x³=15x+4, que tiene la raíz real positiva x=4 y que la fórmula de Cardano expresa algebraicamente como

x₁ = ³√ [2 + √ (-121) ] + ³√ [2 - √ (-121) ] = (2 + √ -1)+(2- √ -1)=4 (!!). Una raíz real y verdadera, obtenida pasando previamente por el sombrío averno del NO SER, y regresando al mundo de lo "existente".

Es decir, el cálculo de las tres raíces reales de una ecuación cúbica con coeficientes reales obliga a pasar por el cálculo de raíces cuadradas de números reales negativos, siendo ésta la causa que verdaderamente llevó a pensar en los números imaginarios, y cómo definirlos y operar con ellos. Luego se vio que resuelven todas las ecuaciones cuadráticas, pero fue después.

Para no repetirme más, envío a los lectores interesados a mi otra respuesta (amplia), a la que pertenece el párrafo anterior que aquí he reproducido, sobre las ecuaciones de tercer grado y la fórmula de Cardano, :

NOTA IMPORTANTE:

Si el lector desconfía de éste "respondedor" de preguntas, hace lo correcto; pero debe desconfiar de toda letra impresa, no solo de ésta, y cotejando muchos textos (a ser posible, buenos textos) entonces encontrará algo parecido a la "verdad", con todas las comillas que se quiera…

Corrobore esta respuesta el lector, para su mayor tranquilidad, por ejemplo, con el texto clásico de Carl.B Boyer,

A HISTORY OF MATHEMATICS (SECOND EDITION)

(John Wiley & Sons, INC), Capítulo 15, The Renaissance, págs. 284–289

o también, y muy especialmente, con el lindo texto de John Stillwell:

Mathematics and Its History (Third Edition - Springer) Cap. 14 (pág 275).