¿Qué tiene que ver los números complejos con la electricidad?

Número hipercomplejo - Wikipedia, la enciclopedia libre

Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano, los números hipercomplejos se pueden ver como puntos en algún espacio euclídeo de más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines y cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones). Otro caso interesante es el de los números hipercomplejos unitarios, que tienen módulo unidad, estos pueden ser representados como n -esferas : Los cuaterniones unitarios pueden ser representados como S 3 {\displaystyle S^{3}} . Los octoniones unitarios pueden ser representados como S 7 {\displaystyle S^{7}} . Estas representaciones están muy ligadas a la posibilidad de caracterizar una n -esfera S n {\displaystyle S^{n}} como fibrado de Hopf sobre un espacio base S m {\displaystyle S^{m}} con m < n donde cada fibra sea S n − m {\displaystyle S^{n-m}} . Módulo de un número hipercomplejo Editar Si como se ha explicado antes los números hipercomplejos se representan por vectores de un espacio euclídeo. Para los números hipercomplejos que lo admiten (todos menos los sedeniones de Cayley-Dickson), el módulo de un número hipercomplejo no es otra cosa que el módulo del vector que los representa. El módulo de un número hipercomplejo | Z | puede calcularse como la raíz del producto del número hipercomplejo por su hipercomplejo conjugado: | Z | = Z Z ¯ {\displaystyle |Z|={\sqrt {Z{\bar {Z}}}}}

Cuaternión - Wikipedia, la enciclopedia libre

Multiplicación de cuaterniones × 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k − j j j − k −1 i k k j − i −1 Los cuaterniones (también llamados cuaternios ) son una extensión de los números reales , similar a la de los números complejos . Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i , tal que i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i , j y k a los números reales tal que: i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1} , como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley . Los elementos 1 , i , j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4. Cuaternión proviene del latín quaterni (por cuatro), su significado literal es "número de cuatro componentes". El vocablo fue propuesto por su creador William Rowan Hamilton . [ 1 ] ​ Representaciones de los cuaterniones Editar El conjunto de los cuaterniones puede expresarse como: H = { a + b i + c j + d k : a , b , c , d ∈ R } ⊂ C 2 {\displaystyle \mathbb {H} =\left\{a+bi+cj+dk:a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {C} ^{2}} o equivalentemente: H = { ( a + b i ) + ( c + d i ) j : a + b i , c + d i ∈ C } ⊂ C 2 {\displaystyle \mathbb {H} =\left\{(a+bi)+(c+di)j:a+bi,c+di\in \mathbb {C} \right\}\subset \mathbb {C} ^{2}} Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk , donde a , b , c , y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión. Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno ( componente a componente ) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes x → = ( a , b , c , d ) {\displaystyle {\vec {x}}=(a,b,c,d)} , y el otro el de las "bases": { 1 , i , j , k } {\displaystyle \{1,\ i,\ j,\ k\}} . En este caso, el elemento a 1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i , j , k : x = ( a 1 , a → ) = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) {\displaystyle x=\left(a_{1},{\vec {a}}\right)=\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right)} Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones. Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos , para representar cuaterniones con matrices . Así el cuaternión q = a + b i + c j + d k {\displaystyle q=a+bi+cj+dk\,} se puede representar: Usando matrices complejas de 2x2: ( a + b i c + d i − c + d i a − b i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}} Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante U ( 2 ) {\displaystyle U(2)} . Cuyo subconjunto SU(2) , los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ‖ q ‖ 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=\|q\|^{2}\,.} Una propiedad interesante de esta repres