¿Para qué sirven los números complejos?

Los números complejos son números que tienen una parte que es un multiplo de 1 (la parte real, que puede ser nulo) más un multiplo de i (el número imaginario, la raíz cuadrada de -1, que también puede ser nulo).

Por una parte, los números complejos armonizan los números, nos llevan a una especie de teoría unificada de los números. Y por otra parte, resultan enormemente útiles, de maneras sorprendentes. Me explico…

En principio, tenemos los números reales positivos, que sirven para contar o medir las cosas. Por ejemplo, podemos considerar una manzana.

Pero luego, nos encontramos con distintas operaciones. Por ejemplo, yo te puedo dar una manzana a tí, o tú me puedes dar una manzana a mi.

Pero con los números negativos, podemos unificar estas dos operaciones, porque si tú me das una manzana a mí, se puede considerar que yo te he dado -1 manzanas a tí. Entonces, ahora, sólo hay una operación: yo te doy a tí.

Pero luego, nos encontramos con otra dificultad: Investigando las propiedades de los números negativos, encontramos que sus cuadrados siempre son positivos, ya que -1 x -1 = +1. Entonces, tenemos dos clases de números, los que tienen una raíz cuadrada, y los que no.

Pero ahora, estos dos tipos de números se unifican mediante el concepto del número imaginario i, la raíz cuadrada de -1.

Ahora, todos los números tienen raíz cuadrada, y sólo hay un tipo de números.

Y resulta que las raíces mayores (raíz cúbica, raíz cuarta, raíz quinta, etc.) también pueden expresarse sin necesidad de más números que los múltiplos de 1 y de i, es decir, que toda cantidad se puede expresar como un número complejo.

Así que terminamos con un sistema universal de números. Incluso funciona en otras ramas de las matemáticas, por ejemplo, en la trigonometría, podemos calcular el seno o el coseno de un ángulo imaginario o complejo (el resultado será también un número complejo).

Pero luego, se han encontrado otros usos para los números complejos. Un ejemplo es su uso en la electricidad y el electromagnetismo.

En estos campos, se suele trabajar con ondas senoidales. Como ejemplo, usaré la electricidad senoidal, la llamada "corriente alterna" que recibimos en las tomas de corriente de 220 voltios de nuestras casas.

No puedo explicar aquí la electricidad senoidal. Los que no lo entienden tendrán que informarse, por ejemplo, en Corriente alterna - Wikipedia, la enciclopedia libre

Pero hay complicaciones. Si una tensión (voltaje) senoidal si aplica a una carga resistiva, (por ejemplo, una bombilla o una estufa), induce una corriente (o intensidad) también senoidal que está "en fase" con la tensión. Cuando la tensión llega a su punto máximo, la intensidad también llega a su punto máximo. La relación entre la tensión y la intensidad viene definida por la "resistencia" de la carga, que se mide en ohmios. La "resistencia" limita la intensidad de la corriente.

Pero si la tensión se aplica a otros tipos de carga, las llamadas "cargas reactivas"(pueden ser "capacitativas" o "inductivas"), ocurre otra cosa. Estas cargas no sólo limitan la intensidad de la corriente (es decir, tienen una "resistencia"), también introducen un cambio de fase. Esto quiere decir que los puntos máximos de la tensión no coinciden en el tiempo con los puntos máximos de la intensidad. La onda senoidal de la intensidad se adelanta o se retrasa con respecto a la onda senoidal de la tensión. Estas diferencias de fase se suelen representar por ángulos, por ejemplo, la intensidad puede tener un desfase de 90 grados respecto a la tensión.

Cuando se mezclan cargas resistivas y cargas reactivas, se complica enormemente, los ángulos de desfase pueden tomar cualquier valor, e intentar calcular las intensidades usando senos, cosenos y ángulos es una auténtica pesadilla.

Pero los números complejos nos dan una solución. Si representamos las cargas resistivas como resistencias reales (multiplos de 1 ohmio) y las cargas reactivas como resistencias imaginarias (multiplos de i ohmios), nos evitamos la trigonometría (los senos, cosenos, ángulos y demás) y nos quedamos con ecuaciones algebráicas, que son mucho más fáciles de manejar.

Aunque las ecuaciones algebráicas pueden parecer complicadas, no son nada comparadas con los cálculos trigonométricas que tendríamos que usar sin los números complejos.