Sea n un número natural tal que n+1 es divisible por 24. ¿Cómo probar que la suma de todos los divisores de n es múltiplo de 24?

He aquí un problema de teoría de números no trivial en absoluto.

Y como sucede a menudo, a veces se resuelve más sencillamente un problema incluso más "difícil", pero para el que sirven algunos teoremas y resultados fuertes y conocidos, que un problema que -al menos aparentemente- no deriva directamente de ningún teorema clásico, del que pudiera deducirse como corolario. La dificultad está en distinguir una multitud de casos distintos que requieren tratamiento individualizado.

Probablemente se pueda hallar atajos valiosos en la demostración; sin embargo, lo malo de algunos atajos es que en ocasiones ahorran mucho tiempo, pero solo cuando previamente se ha desperdiciado muchísimo más tiempo en buscarlos.

Lema "del 3":

Sea n un número natural tal que n ≡ -1 (mód. 3), es decir, para cierto z entero positivo, n=3z-1. Supongamos que la descomposición de n en factores primos es:

n = p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * … pᵣ ^λᵣ. Todos los primos p₁, p₂, …, pᵣ son distintos de 3, puesto que 3 no divide a n, por ser n ≡ -1 (mód. 3).

Por tanto: cada divisor primo pₘ≡ {1, -1} (mód. 3). Representemos la suma de todos los divisores positivos de un entero positivo por medio de la conocida función aritmética σ.

En estas hipótesis, se verifica que σ (n) ≡ 0 (mód. 3); o sea, σ (n) = múlt. 3.

Demostración:

Se sabe que cada divisor de n es del tipo p₁^β ₁ * p₂^β ₂ * … pᵣ ^β ᵣ, donde cada exponente entero β ⱼ es tal que 0 ≤ β ⱼ ≤ λ ⱼ. Es decir, cada entero positivo que es divisor de n, es un término del producto:

(1+p₁+p₁²+…+p₁^λ₁) (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) … (1+pᵣ+pᵣ²+…+pᵣ^λᵣ), así que, en definitiva deducimos la fórmula clásica:

σ (n) = (1+p₁+p₁²+…+p₁^λ₁) (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) … (1+pᵣ+pᵣ²+…+pᵣ^λᵣ),

o bien, sumando las progresiones geométricas en cada paréntesis:

σ (n) = { [p₁^(λ₁+1) -1] / (p₁-1) } * { [p₂^(λ₂+1) -1] / (p₂-1) } * …

* { [pᵣ^(λᵣ+1) -1] / (pᵣ-1) }

CASO 1:

Supongamos que todo pⱼ ≡1 (mód. 3), y como n=p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * … pᵣ ^λᵣ, sería:

n ≡1 (mód. 3), junto con la hipótesis n ≡ -1 (mód. 3) →¡¡CONTRADICCIÓN!!

Luego el CASO 1 no puede darse, y nos vemos conducidos al

CASO 2: Hay algún o algunos pⱼ ≡ -1 (mód. 3); sean λ ⱼ los exponentes correspondientes a los pⱼ, y supongamos que todos son pares, de modo que

pⱼ ^ λ ⱼ ≡ 1 (mód. 3). Los demás pₛ deberán cumplir, forzosamente,

pₛ ≡ 1 (mód. 3) →

n = (p ⱼ₁ ^ λ ⱼ₁ * p ⱼ₂ ^ λ ⱼ₂ * …* p ⱼₛ ^ λ ⱼₛ) * (p ₖ₁^λ ₖ₁ * … p ₖₛ ^λ ₖₛ ) ≡ 1 (mód. 3)

¡¡CONTRADICCIÓN!! con n ≡ -1 (mód. 3). También este caso es imposible.

De manera que solo es posible el

CASO 3: Existe al menos un pⱼ (y en total un número impar de ellos), tal que

pⱼ ≡ -1 (mód. 3) con su correspondiente exponente λ ⱼ impar. [Si hubiera una cantidad par de tales pⱼ, el producto de factores (-1) en cantidad par daría de nuevo n ≡ 1 (mód. 3) y aparecería la misma contradicción anterior].

Si consideramos un tal pⱼ ≡ -1 (mód. 3) con el correspondiente exponente λ ⱼ impar, que ya sabemos debe existir, en el paréntesis correspondiente tendremos:

σ (n) = (1+pⱼ+pⱼ²+…+pⱼ^λⱼ) * (…) * … * (…), con todos los paréntesis enteros, y así:

σ (n) ≡ (1–1+1–1+…+1–1) (…) … (…) (mód. 3) [esencial aquí es que sea λ ⱼ impar para que haya en el primer paréntesis una cantidad par de binomios nulos, debido a que 1–1 =0] →

σ (n) ≡ 0 (mód. 3), o sea, σ (n) = múlt. 3, como queríamos demostrar.

Lema 1:

Sea n ≡ -1 (mód. 8), y su descomposición canónica n = p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * … pᵣ ^λᵣ, entonces al menos algún exponente λⱼ debe ser impar.

Demostración:

Suponiendo falsa la tesis, por ser pares todos los exponentes, el número n es cuadrado perfecto, de modo que su resto módulo 8 debe ser un resto cuadrático módulo 8:

{0,1,4} [0² ≡ 0, 1² ≡1, 2² ≡4, 3² ≡ 1, 4² ≡ 0, 5² ≡ 1, 6² ≡4, 7² ≡1 (mód. 8) ]

Pero si n ≡ {0,1,4} (mód. 8) esto es contradictorio con n ≡ -1 (mód. 8), puesto que -1 (o su equivalente, +7) no es un resto cuadrático módulo 8. El lema 1 queda demostrado.

Lema 2:

Sea n ≡ -1 (mód. 8) (luego n impar), y su descomposición canónica

n = p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * … pᵣ ^λᵣ, y supongamos que sea impar únicamente el exponente λ₁. Entonces se cumple:

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), o en otras palabras, σ (n) = múlt. 8.

Demostración:

n= p₁^λ₁ * m²; pero n impar → m impar → m² impar y como el resto módulo 8 de m² es uno de éstos: {0,1,4} → m² ≡ 1 (mód. 8). Luego n ≡ p₁^λ₁ ≡ -1 (mód. 8).

p₁ es impar pues divide a n; y si p₁ ≡ impar (mód 8) →p₁ ≡{1,-1,3,-3} (mód. 8).

Pero toda potencia de 1 es congruente con 1 (mód 8); toda potencia de 3 es:

3ᵖᵃʳ ≡ 1 (mód. 8) o bien, evidentemente, 3ᶦᵐᵖᵃʳ ≡ 3 * 3ᵖᵃʳ ≡ 3 (mód. 8).

En efecto, 3² ≡ 1 (mód. 8) de donde (3²) ᵍ ≡ 1 (mód. 8) como afirmábamos.

Análogamente, (-3)ᵖᵃʳ ≡ 3ᵖᵃʳ ≡ 1 (mód. 8), y también

(-3)ᶦᵐᵖᵃʳ ≡ - 3ᶦᵐᵖᵃʳ ≡ -3 (mód. 8).

De modo que solo queda la única posibilidad: si p₁^λ₁ ≡ -1 (mód. 8), con el exponente λ₁ impar, necesariamente debe ser p₁ ≡ -1 (mód. 8). Así pues,

σ (n) = (1+p₁+p₁²+…+p₁^λ₁) * (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) * …* (1+pᵣ+pᵣ²+…+pᵣ^λᵣ) ≡

(1–1+1–1+…+1–1) * (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) * …* (1+pᵣ+pᵣ²+…+pᵣ^λᵣ) →

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), esto es, σ (n) = múlt. 8, C.Q.D.

Lema 3:

Sea n ≡ -1 (mód. 8) (luego n impar), y su descomposición canónica

n = p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * … pᵣ ^λᵣ, y supongamos que sean impares dos y únicamente dos de los exponentes, designados como λ₁ y λ₂ (reordenando los divisores primos de la descomposición canónica de n si fuera necesario). Entonces se cumple:

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), o en otras palabras, σ (n) = múlt. 8.

Demostración:

n = p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * m² (recordemos que todos los demás exponentes λ son pares, lo que forma un cuadrado perfecto, m²). Como todo cuadrado, es

m² ≡ {0, 1, 4 } (mód. 8); pero n impar, y m² | n, → m² impar → m² ≡1 (mód. 8).

Puesto que λ₁ y λ₂ son impares, respecto al módulo 4 solo pueden ser congruentes con 1 o -1; esto es, solo pueden tener la forma (múlt. 4)+1 o bien (múlt. 4)-1.

Admitamos que λ₁ = (múlt. 4)+1; y que λ₂ = (múlt. 4)+1.

Puesto que n ≡ -1 (mód. 8) → p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * m² ≡ -1 (mód. 8) →

p₁^λ₁ * p₂^λ₂ ≡ -1 (mód. 8) →

p₁^ [(múlt. 4)+1] * p₂^ [(múlt. 4)+1] ≡ -1 (mód. 8). Pero p₁² ≡ 1 (mód. 8); y lo mismo para p₂, de modo que tanto p₁ como p₂ verifican p⁴ ≡ 1 (mód. 8) (con subíndice 1 o 2 para p) y elevando a cualquier exponente entero positivo,

p ^ (múlt. 4) ≡ 1 (mód. 8) (válido para p₁ y para p₂). De modo que sustituyendo:

p₁ * p₂ ≡ -1 (mód. 8). Como p₁, p₂, por ser impares, deben ser congruentes con uno de los restos {1,-1,3,-3} las únicas posibilidades para p₁ * p₂ serán

3*(-3), o bien 1*(-1), puesto que los demás productos dan

1*3=3, 1*(-3)=-3, (-1)*3=-3, (-1)*(-3)=3, que no son ≡ -1 (mód. 8).

Si en vez de admitir λ₁ = (múlt. 4)+1 y λ₂ = (múlt. 4)+1 supusiéramos

λ₁ = (múlt. 4)-1 y λ₂ = (múlt. 4)-1, o bien, λ₁ = (múlt. 4)+3 y λ₂ = (múlt. 4)+3, saldría un resultado ya considerado: p₁³ * p₂³ ≡ -1 (mód. 8) → (p₁ * p₂ )³ ≡ -1 (mód. 8).

Pero la congruencia cúbica w³ ≡ -1 (mód. 8) solo tiene la solución:

w ≡ -1 (mód. 8) → de nuevo 1*(-1) es la única posibilidad para p₁ * p₂, ya apuntada antes, y podemos tomar p₁ ≡ 1 (mód. 8) y p₂ ≡ -1 (mód. 8) (o viceversa).

Si, por último, considerásemos el caso "mixto",

λ₁ = (múlt. 4)+1 y λ₂ = (múlt. 4)-1, o lo que es igual, λ₂ = (múlt. 4)+3, obtendríamos:

p₁ * p₂³ ≡ -1 (mód. 8). De nuevo, probando todas las combinaciones posibles entre {1, -1, 3, -3} solo valen

1*(-1)³ (o viceversa) ≡ -1 (mód. 8); 3*(-3)³ (o viceversa), otra vez ya considerados. Por tanto, solo puede ser p₁ =1, p₂ = -1 (o viceversa); o bien

p₁ =3, p₂ = -3 (o viceversa). Y lo mismo, evidentemente, si se intercambiasen

λ₁ = (múlt. 4)+3 y λ₂ = (múlt. 4)+1.

CASO 1:p₁ ≡ 1 (mód. 8) y p₂ ≡ -1 (mód. 8). [Sería idéntica la demostración si se hallaran intercambiados los valores de p₁ y p₂]

σ (n) = (1+p₁+p₁²+…+p₁^λ₁) * (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) * (…) * …(…).

Considerando el valor -1, en este caso el de p₂ ≡ -1 (mód. 8) →

1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂ ≡ 1–1+1–1+…+1–1 ≡ 0 (mód. 8), es decir, solo este factor asegura que el producto total es múlt. 8 → σ (n) ≡ 0 (mód. 8) → σ (n) es múlt. 8.

C.Q.D.

CASO 2:

p₁ ≡ 3 (mód. 8) y p₂ ≡ -3 (mód. 8). [Sería idéntica la demostración si se hallaran intercambiado los valores de p₁ y p₂].

σ (n) = (1+p₁+p₁²+…+p₁^λ₁) * (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) * (…) * …(…).

σ (n) ≡ (1+3+…+3^λ₁) * [ 1–3+ 3²-…+3^(λ₂-1)-3^λ₂] * (…) * …(…).

Ahora bien, 1+3+3²+…+3^(λ₁-1)+3^λ₁ = (1+3)+(3²+3³)+…+[ 3^(λ₁-1)+3^λ₁ ] = [sacando factor común, (3²+3³) = 3² (1+3)=3²*4, etc.]

4+3²*4+…+[3^(λ₁-1)] * 4 = múlt. 4.

Pero el otro paréntesis, 1–3+ 3²-…+3^(λ₂-1)-3^λ₂ = par, porque el número de sumandos es una cantidad igual a λ₂+1 (par) y todos los sumandos son números impares. Cada pareja de ellos suma par, y hay un nº entero de parejas = (λ₂+1)/2.

Luego en el producto que da σ (n) hay dos factores, uno múlt. 4 y otro múlt. 2, y el resto de factores paréntesis son enteros, lo que garantiza que:

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), o en otras palabras, σ (n) = múlt. 8. C.Q.D.

Lema 4:

Sea n ≡ -1 (mód. 8) (luego n impar), y su descomposición canónica

n = p₁^λ₁ * p₂^λ₂ * … pᵣ ^λᵣ, y supongamos que sean impares al menos tres de los exponentes, designados como λ₁, λ₂, λ₃ (reordenando los divisores primos de la descomposición canónica de n si fuera necesario). Entonces se cumple:

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), o en otras palabras, σ (n) = múlt. 8.

Demostración:

σ (n) = (1+p₁+p₁²+…+p₁^λ₁) * (1+p₂+p₂²+…+p₂^λ₂) * (1+p₃+p₃²+…+p₃^λ₃) * (…) * …(…).

En cada uno de los tres primeros paréntesis hay una cantidad par (λ₁+1, λ₂+1, λ₃+1) de sumandos impares, que son las potencias de cada primo p₁, p₂, p₃. Estos números impares se pueden agrupar en parejas cada una con suma par, luego cada paréntesis es la suma de varios números pares y es par.

Así, en el producto que da σ (n) hay al menos tres números pares, y puesto que en general 2a*2b*2c=8(abc), esto garantiza que σ (n) = múlt. 8. C.Q.D.

Lema "del 8"

Sea n ≡ -1 (mód. 8). Entonces siempre se cumple:

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), o en otras palabras, σ (n) = múlt. 8.

Demostración:

En todos los casos posibles que se puedan dar, los lemas anteriormente demostrados nos aseguran que:

σ (n) ≡ 0 (mód. 8), o en otras palabras, σ (n) = múlt. 8. C.Q.D.

DEMOSTRACIÓN PROPUESTA POR LA PREGUNTA PRESENTE:

Sea n +1 = múlt. 24. Entonces siempre se cumple que la suma de todos los divisores (positivos) de n es múltiplo de 24:

DEMOSTRACIÓN:

Por ser n +1 = múlt. 24, en particular, puesto que 24 =8*3,

es n +1 = múlt. 3. Por el Lema "del 3", probado anteriormente en esta respuesta, debido a que se cumple la hipótesis n +1 = múlt. 3, deducimos que:

σ (n) = múlt. 3.

Del mismo modo, como n +1 = múlt. 8, por el Lema "del 8", probado anteriormente en esta respuesta, debido a que se cumple la hipótesis

n +1 = múlt. 8, deducimos que: σ (n) = múlt. 8.

Pero si a y b son dos números enteros primos entre sí, es decir, MCD (a,b)=1, y un número entero es múltiplo de ambos, es también múltiplo de su producto ab (Teorema básico de la teoría elemental de números). La demostración es muy sencilla empleando, por ejemplo, el teorema que afirma que si un primo divide a un producto de dos enteros cualesquiera, al menos divide a uno de ellos (primer teorema de Euclides) o también usando el Teorema Fundamental de la Aritmética, que para cualquier entero positivo, establece la existencia y unicidad de su descomposición en factores primos.

Por tanto, como 8 y 3 son primos entre sí, y σ (n) es múltiplo de ambos, forzosamente debe ser múltiplo de su producto:

σ (n) = múlt. 24, que es lo que se requería demostrar.

Queda así contestada la pregunta.