Si Zn tiene un subconjunto Un = {???? / ????, ???? = 1}, donde (a, n) significa máximo común divisor de a y n., ¿qué grupo es (Un, .)? (∙) es el producto...

Efectivamente, Uₙ es un grupo, aunque es más frecuente designarlo ℤ'ₙ, pero eso no es importante, puedes llamarlo como quieras;

Uₙ es un grupo multiplicativo (NO aditivo).

Un es el grupo de las clases de restos módulo n de los números {a₁, a ₂, …, aₖ}, con las dos condiciones:

1) que cada aⱼ (1 ≤ j ≤ n) sea primo con n, o sea,

no tenga ningún factor común con n ;

2) que para todo entero primo con n, o sea, sin divisor en común con n, excepto el 1, haya uno de los aⱼ en su clase, o dicho de otro modo, que

todo entero primo con n sea congruente módulo n con algún aⱼ.

Se llama al conjunto {a₁, a ₂, …, aₖ} un sistema reducido de restos módulo n.

Y puede encontrarse uno escogiendo primero un sistema completo de restos módulo n, como por ejemplo:

{0,1,2…n-1} y eliminando de él todos los enteros que tienen algún factor común con n, distinto del factor 1, o sea, aquellos cuyo máximo común divisor con n es mayor que 1.

Esto es fundamental para que efectivamente se obtenga un grupo multiplicativo; por ejemplo, si n = 10, un sistema completo de clases de restos módulo 10 sería: [0]₁₀, [1]₁₀, [2]₁₀, [3]₁₀, [4]₁₀, [5]₁₀, [6]₁₀, [7]₁₀, [8]₁₀, [9]₁₀.

La clase [0]₁₀ contiene a todos los múltiplos de 10, como 0, 10, 20, -10, -20…etc.

La clase [1]₁₀ contiene a todos los múltiplos de 10 más 1, números del tipo 10q+1, como 1, 11, 21, -9, -19…etc. Y así, en general la clase [h]₁₀ (con 0 ≤ h ≤ 9), contiene a todos los enteros (positivos, negativos o nulos) de la forma 10q+h.

Dado cualquier n > 0, se define el producto de dos clases de restos módulo n como [a]ₙ * [b]ₙ = [ab]ₙ.

Este producto así definido existe siempre para cualesquiera dos clases, tiene la propiedad asociativa, la propiedad conmutativa, tiene a la clase [1]ₙ como elemento neutro, pero…

es evidente que la clase [0] no tiene inverso multiplicativo; en el ejemplo anterior, con el caso n = 10 , vemos que [0]₁₀ * [x]₁₀ = [1]₁₀ no tiene solución, puesto que

siempre es [0]₁₀ * [x]₁₀ = [0]₁₀. Y no solo ocurre aquí con el 0, pues tampoco tiene inversa, por ejemplo, la clase [2]₁₀ ; si la tuviera existiría x tal que →

[2]₁₀ * [x]₁₀ = [1]₁₀, pero esto, en el lenguaje de congruencias, significa que

2x ≡ 1 (mód. 10) → 2x - 1 = 10t con t entero → 2x - 10t = 1 → 2(x-5t) = 1

y como x y t son enteros, será entero también x-5t, lo que implicaría que 1 es múltiplo de 2 → CONTRADICCIÓN; de modo que, en efecto,

la clase [2]₁₀ no es inversible, según el módulo 10. Esto se debe a que

(2,10) = 2 > 1, o sea, el MCD (10,2) NO ES 1.

Mientras que si tomamos, por ejemplo, [3]₁₀, puesto que (3,10)=1, ésa sí que será inversible, de hecho, es [3]₁₀ * [7]₁₀ = [21]₁₀ = [1]₁₀, de modo que la inversa de la clase [3]₁₀ es la clase [7]₁₀.

Así pues, el conjunto (o sistema) de clases Uₙ será un grupo cuando todos sus elementos tengan inverso en Uₙ, por tanto, cuando cada uno de los {a₁, a ₂, …, aₖ} sea primo con n y todo entero primo con n esté representado módulo n por alguno de los aⱼ.

En el ejemplo de n = 10 el grupo multiplicativo U₁₀ se puede definir como:

U₁₀ = {[1]₁₀, [3]₁₀, [7]₁₀, [9]₁₀ } ; precisamente se compone de las clases de los números

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } que son primos con 10, o sea, cuyo MCD con 10 es 1. Hemos eliminado el 0, pues (0,10) = 10 ≠ 1; el 2 también, pues (2,10) = 2 ≠ 1, como también el 4, el 5, el 6 y el 8 por la misma razón:

(4,10) = 2 ≠ 1, (5,10) = 5 ≠ 1, (6,10) = 2 ≠ 1, (8,10) = 2 ≠ 1.

En U₁₀ la clase [1]₁₀ es inversa de sí misma, la clase [3]₁₀ es inversa de [7]₁₀, la clase

[7]₁₀ es inversa de la clase [3]₁₀ y la clase [9]₁₀ es inversa de sí misma.

En general, el número de elementos de Uₙ es el mismo que el número de enteros comprendidos entre 1 y n-1 inclusive que son primos con n, esto es, cuyo MCD con n es 1. Ese número se representa mediante la función φ, el indicador de Euler , y así, en el caso del módulo n, Uₙ tiene φ(n) elementos.

Si la descomposición de n en factores primos es:

n = p₁^γ₁ * p₂^γ₂ * …* p ⱼ ^ γ ⱼ , se puede calcular φ(n) mediante la fórmula:

φ(n) = n * (1–1/p₁) (1–1/p₂) …(1–1/p ⱼ).

En el caso de U₁₀, como 10 = 2* 5 →

φ(10) = 10 * (1–1/2) (1–1/5) = 10 * 1/2 * 4/5 = 4, que es, en efecto, el número de elementos de U₁₀ = { [1]₁₀, [3]₁₀, [7]₁₀, [9]₁₀ }.

El hecho de que, para todo n, en Uₙ todo elemento tiene un inverso, garantiza que

Uₙ es realmente un grupo, y la demostración de este teorema es equivalente a la demostración del fundamental Teorema de Bézout (o Identidad de Bézout) :

Si (m,n) = 1 existen en ℤ al menos dos enteros x, y, tales que mx+ny=1.

Y en general, si m₁, m₂ …mₖ son enteros tales que (m₁, m₂ …mₖ) = 1 existen

en ℤ al menos k enteros x₁, x₂ …xₖ tales que m₁x₁ + m₂x₂ + …+mₖxₖ =1

OBSERVACIÓN REFERENTE A LA NOTACIÓN:

En algunos libros la clase de congruencia se escribe con corchetes, como en esta respuesta : [a]ₙ , y en otros se escribe "a" con la rayita encima, como se menciona en la pregunta; pero es indiferente la notación que utilices, significa lo mismo.

Las matemáticas son como la vida: no importa cómo te llames, sino lo que haces.