¿Por qué se crearon los números pares e impares?

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La definición del número imparmente impar no sufre variación. El libro Llave aritmética y algebraica​ utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares.

Los números impares NO se pueden dividir exactamente en grupos de dos. El número cinco se puede en dos grupos de dos y un grupo de uno. Los números pares siempre terminan con un dígito de 0,2,4,6 u 8. ... Los números impares siempre terminan con un dígito de 1,3,5,7, o 9.

En las matemáticas y especialmente en la aritmética, un número par es un número entero que es divisible entre dos.

Se trata de un número entero que se puede escribir de la forma: 2k (es decir, divisible de manera entera entre 2), donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Los números enteros que no son pares se llaman números impares (o números menores), y pueden escribirse como 2k+1.

Los números pares son: … -4, -2, 0, 2, 4, 6 …

y los impares: -3, -1, 1, 3, …

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.

​ Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: "2" y "4", o "3" y "7"; son «de la misma paridad». Por el contrario los números "23" y "44" son «de distinta paridad».

Esta se complementa por una fácil fórmula:

par + par = par; par + impar = impar; impar + impar = par

​El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los números pares.

Propiedades con respecto a la divisibilidad

• Dos números enteros consecutivos tienen paridad diferente.
• Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.

Tipos especiales de números pares

• Los números perfectos son pares.
• Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
• Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares

• Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1. Los números primos de la forma 4n+1, con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o triángulo rectángulo diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.Los primos de la forma 4n+3 no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a 2(n+1)2(n+1), donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Álgebra

• la suma de números naturales pares es par y cabe la propiedad asociativa, el conjunto de los números pares es un semigrupo conmutativo con la adición; si se admite 0 como natural, sería el elemento neutro aditivo par.
• El conjunto de los números enteros pares con la adición es un grupo abeliano, pues se cumplen: la clausura, asociatividad, existe el elemento neutro par el cero y para cada par existe su opuesto.
• El conjunto de los números naturales impares con la multiplicación es un semigrupo asociativo, con unidad.

Paridad de potencias[editar]

• Si a^2 es un número par entonces a es un número par. Esta propiedad se usa en la demostración de la irracionalidad de
• sqrt2sqrt2→ (2^(1/2))
• Referencias

1. ↑ a b Los Elementos, versión bilingüe en griego e inglés (disponible en PDF)
2. ↑ "(El uno no era considerado como un número impar, sino más bien como el origen de todos los números.)" (Dantzig, Tobías (1971). Capítulo III: La Ciencia de los Números, del libro: "El Número. Lenguaje de la Ciencia", Buenos Aires, Editorial Hobbs Sudmericana S. A.,páginas 49,53. Cita de la página 53)
3. ↑ Esto provenía de una doctrina oculta vinculada al sacerdocio pagano. El uno representaba a la divinidad antes delacto creador. El primer número era el dos, la dualidad creadora, que permite percibir por medio de la diferenciación. Para esos seres humanos todo se creaba de a pares opuestos: luz-oscuridad; sí-no; masculino-femenino. La unidadprimigenia era indiscernible. De aquí proviene la verdadera razón por la que el número uno no es considerado unnúmero primo. La definición elemental de número primo es: «Primo es aquel número natural que solamente esdivisible por sí mismo y por la unidad». Algunas personas objetan por qué 1 no es primo basándose en que no hayrazón lógica que se pueda oponer para negar que 1 cumple con esa definición. La razón es que originariamente elnúmero 1 no era considerado un número. Aunque a posteriori se pudieran agregar otros motivos, el comienzo detodo está en esta concepción mística primitiva de los números, en una tradición olvidada.
4. ↑ de Santa Cruz, Miguel Gerónimo (1794). Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica.. Madrid: Imprenta dedon Benito Cano. pp. 4-6. http://books.google.es/books?id=hfSL2PZ2PlMC&printsec=titlepage.
5. ↑ a b Rodríguez Vidal, R.. Enjambre matemático. Reverté. pp. 73-75. http://books.google.es/books?id=_L9umBMnvHYC&pg=PA74.
6. ↑ Poy y Comes, Manuel (1790). Llave aritmética y algebrayca. Barcelona: Impresor de S.M., Calle de la Paja. pp. 4-6. http://books.google.es/books?id=bc82AAAAMAAJ&printsec=titlepage.
7. WIKIPEDIA.
8. Disculpa, pero esto es lo que conozco y encontré acerca de los números pares e impares y el por que de su existencia.