¿Por qué si xᵖ + yᵖ = zᵖ, donde p es un número primo menor que 100, entonces xyz es divisible por p²?

A2A*. Esta propiedad históricamente fue importante porque fue uno de los primeros esfuerzos realmente ambiciosos para demostrar el último teorema de Fermat. El resultado mencionado conocido como teorema de Sophie Germain, una de las grandes matemáticas del siglo XIX, es largo de demostrar, requiere unas 2000 palabras de explicación, y su argumento fue construido hacia 1819, el enunciado original de Sophie Germain es un poco diferente a lo que actualmente se llama teorema de Sophie Germain aunque el núcleo sí es el mismo. Si la pregunta se refiere a un por qué sencillo, bueno no existe, no hay más que seguir meticulosamente los razonamientos que Germain hizo hace 200 años para convencerse que es así, pero no es algo rápido ni inmediato, que yo sepa [en este enlace puede encontrarse una demostración explícita del teorema de Sophie Germain, pero es para dedicarle una tarde con paciencia, al menos]. Sophie Germain era una persona introvertida, no se prodigaba en fiestas y prefería el paciente trabajo matemático existen muy pocos retratos de ella, me quedo con la imagen de paz de la tumba donde descansas sus restos:

Aunque el enunciado fue importante en su tiempo, porque hasta la fecha era posiblemente el intento de demostrar el último teorema de Fermat para un conjunto infinito de números primos (todos los esfuerzos anteriores se centraban en valores particulares de p), sin embargo, desde 1995 el resultado es mucho menos interesante ¿por qué?
Bueno porque es un teorema del tipo “si P entonces Q” pero desde que en matemático inglés Andrew Wiles demostrara definitivamente en 1995 que no existen ninguna solución entera posible de la ecuación xp+yp=zpxp+yp=zp para p>2p>2 sabemos que la condición P no se cumple nunca y, por tanto, aunque podemos demostrar estrictamente “que P implica Q” con independencia de que P sea cierta o no, de hecho el que P nunca sea cierta reduce mucho su utilidad.

En cualquier caso el resultado de Sophie Germain prueba al menos dos cosas:

1. Que el último teorema de Fermat era un resultado complicado y las técnicas que usó Germain, Gauss y muchos otros para demostrarlo ampliaron mucho nuestro conocimiento de las matemáticas, aunque en ese objetivo particular no tuvieran éxito.
2. Que desde que tenemos documentación histórica han existido mujeres brillantes, al nivel de cualquier científico, y si la historia no está llena de más mujeres como Sophie Germain es porque las condiciones socioculturales de Occidente (en el siglo XIX una sociedad capitalista que no por ello dejaba de ser machista, antidemocrática, retrógrada) anulaban el talento de la mitad de la sociedad (me refiero aquí a las mujeres, con lo cual podemos tirar a la basura las historietas de “superación personal” como causa del cambio histórico, las condiciones socioeconómicas como habría dicho Marx también tenían su peso).