¿Cómo puedo demostrar que si n es un número real positivo entonces existe un único número real x tal que x^3 = n?

Entiendo que la pregunta se refiere a cómo demostrar que todo número real positivo tiene una raíz cúbica real y única.

Se puede dar una respuesta "a la carta", aunque con muy poco esfuerzo más, la demostración podría abarcar a todos los índices de la raíz, es decir, se puede probar con un método análogo que para todo número real positivo existe una única raíz m-ésima real y positiva, donde m es cualquier entero positivo.

Pero para circunscribirme exactamente a la pregunta, expongo en primer lugar la demostración de existencia de la raíz cúbica en R, usando exclusivamente la axiomática que caracteriza a los números reales ; esto es, sin usar conceptos extra como continuidad de funciones o convergencia de sucesiones o series, o las funciones exponencial y logarítmica. Emplearé para el radicando la letra "a", más usual para representar un número real, porque la letra n puede llevar a la confusión de que se trate de un número natural, aún a pesar de que el enunciado advierte, correctamente, que n es un número real.

Sea pues a ∈ R+ . Probaremos que existe al menos una raíz cúbica de a.

PRIMER CASO : a > 1 . Consideremos el conjunto A = {u ∈ R+ / u³ < a }.

El conjunto A es no vacío: en efecto, 1 ∈ A.

Además, A está acotado superiormente ; en efecto, elijamos cualquier elemento de A, digamos x ∈ A ; probemos que existe cierto v real positivo, que cumple v³ > a. En efecto, como a > 1 → (multiplicando por a) → a² > a;

(multiplicando otra vez por a) → a³ > a² > a → a³ > a ,

así que basta tomar cualquier v ≥ a para tener v³ > a .

Pero x ∈ A → x³ < a < v³ ;

→ x³ < v³ ; si fuera x ≥ v, elevando al cubo ambos miembros positivos,

x³ ≥ v³ (CONTRADICCIÓN), de manera que debe ser x < v, lo que prueba que todo elemento de A es menor que v, y por eso podemos garantizar que A está acotado superiormente (por v).

Como A es un subconjunto de los números reales y es no vacío y acotado superiormente, existe el extremo superior de A (o supremo de A), o sea, la cota superior mínima de A → existe r = sup A, y por ser positivos todos los elementos de A , y r cota superior de A , será r > 0.

1) Supongamos que fuera r³ < a → a - r³ > 0 ; encontraremos un número real positivo mayor que r, digamos r + h , con h > 0, y tal que (r+h)³ < a ; para encontrar algún h que cumpla estas condiciones, desarrollemos:

r³ + 3hr² + 3h²r + h³ < a → h(3r² + 3hr + h²) < a - r³ ; añadamos la condición extra de que sea 0 < h < 1 y sigamos buscando tal h que cumpla esta última desigualdad; h < 1 → 3r² + 3hr + h² < 3r² + 3r + 1 → (multiplicando por h)

h(3r² + 3hr + h²) < h(3r² + 3r + 1) ; si además h < (a - r³) /(3r² + 3r + 1) →

(r + h)³ = r³ + 3hr² + 3h²r + h³ < r³ + h(3r² + 3r + 1) < r³ + a - r³ = a →

(r + h)³ < a, siempre que sea 0 < h < mín [1, (a - r³) /(3r² + 3r + 1) ].

Por ejemplo, con h = (1/2) * mín [1, (a - r³) /(3r² + 3r + 1) ], tenemos

h > 0 y a la vez, (r+h)³ < a ; pero esto implica que r + h ∈ A y r + h > r, una CONTRADICCIÓN porque r era el supremo de A, en particular una cota superior de A.

De este modo queda demostrado que no es posible que sea r³ < a .

2) Supongamos que pudiera ser r³ > a , lo que implicaría r³ - a > 0 ; y análogamente al caso anterior, busquemos cierto h real, tal que 0 < h < r y además sea

(r - h)³ > a → r³ - 3hr² + 3h²r - h³ > a → 3hr² - 3h²r + h³ < r³ - a

Puesto que r = sup A = {u ∈ R+ / u³ < a }, y por hipótesis a > 1, se verifica que

1 ∈ A , luego r ≥ 1 (pues r es cota superior de A).

La última desigualdad es equivalente a esta otra:

h(3r²-3hr + h²) < r³ - a ; si elegimos h tal que 0 < h < r, será

0 < 3r²-3hr + h² = 3r(r-h) + h² < 3r² + h² < 3r² + r² = 4r² ; (&)

añadamos otra condición a h :

h < (r³ - a) / 4r² → (multiplicando por 3r²-3hr + h² , que es positivo) →

h(3r²-3hr + h²) < (3r²-3hr + h²) (r³ - a) / 4r² < (por &) →

< 4r² (r³ - a) / 4r² = r³ - a →

h(3r²-3hr + h²) < r³ - a → r³ - h(3r²-3hr + h²) > a → (r - h)³ > a ;

es decir, si elegimos h desde el principio, de modo que cumpla:

0 < h < mín [r, h < (r³ - a) / 4r² ] se verificará que (r - h)³ > a ; por ejemplo, si

h = (1/2) *mín [r, h < (r³ - a) / 4r² ] será (r - h)³ > a , con r - h > 0.

Ahora bien, como r es la mínima cota superior, y h es positivo, r - h ya no es cota superior de A, luego existe cierto número real s ∈ A tal que s > r - h →

s³ > (r - h)³ > a , es decir, s³ > a ; y como s ∈ A →

s ∈ {u ∈ R+ / u³ < a } → s³ < a, a la vez que s³ > a , CONTRADICCIÓN que proviene de haber supuesto que r³ > a.

Así pues, como no es posible r³ < a , ni tampoco r³ > a, por la ley de tricotomía del orden usual en R, ha de ser r³ = a , de manera que r es una raíz cúbica de a, como queríamos demostrar.

SEGUNDO CASO : 0 < a < 1 ; sea b = 1/a ; será b > 1, y por

el PRIMER CASO, existe cierto r real positivo que es una raíz cúbica de b →

r³ = b → 1/r³ = 1/b → (1/r)³ = a , de modo que existe una raíz cúbica de a , que es 1/r.

TERCER CASO : a = 1 ; como 1³ = 1 * 1 * 1 = 1 = a, existe al menos una raíz cúbica de a que es 1.

En todo caso, si a > 0 existe al menos una raíz cúbica de a .

UNICIDAD: Si a > 0, y se verifica c³ = a , d³ = a, o sea, c y d son raíces cúbicas (reales) de a, necesariamente c = d ; dicho de otro modo,

la raíz cúbica en R es necesariamente única.

Demostración :

Si c³ = a , d³ = a, con c > 0, d > 0, si fuera c > d → c³ > d³ → a > a ¡CONTRADICCIÓN!, mientras que si d > c → d³ > c³ → a > a , de nuevo…

¡CONTRADICCIÓN! ; así que solo queda la posibilidad c = d, luego la raíz cúbica (real) es única en R .

C.Q.D.