¿Cómo puedo encontrar la fracción continua de cualquier número irracional en la forma raíz(n) cuando n es un entero?

Entendemos que raíz (N) se refiere a la raíz cuadrada; si fuera de otro índice es mucho más complicado el problema y, por ahora al menos, es mucho menos interesante porque tiene menos aplicaciones (conocidas). En cambio el desarrollo en fracción continua de √N es la clave para la resolución de la ecuación diofántica cuadrática fundamental en la teoría aritmética de las formas cuadráticas, en la teoría de ecuaciones diofánticas, y en general, en toda la teoría algebraica de números: la ecuación x²-N y²=1, ecuación de Fermat, llamada (erróneamente) ecuación de Pell.

Supongamos que N es mayor que 1 y no cuadrado perfecto, o sea, √N irracional; si no, la raíz cuadrada de N sería un número entero y ese mismo entero sería la fracción continua buscada.

Para generalizar, y porque después se emplea durante el proceso, consideremos el irracional cuadrático simple y positivo z= { √N+B(0)}/D(0) donde B(0) es un entero positivo, negativo o nulo; y D(0) es un entero no nulo, positivo o negativo, pero en todo caso, es z>0 . Tomando, en particular, B(0)=0, D(0)= 1 tenemos el caso más simple, por el que se pregunta, z= √N.

Supongamos, por claridad en el manejo del algoritmo que usaremos, que N-B²(0) es divisible por el denominador D(0) (si no, se complica todo el cálculo innecesariamente). Además, esto ya se cumple cuando queremos desarrollar la fracción continua de z=√N, puesto que ahí es B(0)=0 y D(0)=1. Si, a pesar de todo, no se cumpliera esta condición de partida, la forzaríamos multiplicando por D(0) todos los términos de la fracción:

z= { √N+B(0)}/D(0)= { √(ND²(0)) + B(0)D(0)}/D²(0) y ahora ya sí que es

ND²(0)- B²(0)D²(0) divisible por el denominador D²(0); de modo que no perdemos generalidad suponiendo esa condición inicial de divisibilidad.

Como es habitual en el desarrollo de cualquier número real positivo en fracción continua, tomamos la parte entera c(1) (podría ser 0), y será el primer cociente incompleto. Es fácil ver (lo omito por brevedad) que la parte entera del irracional

z= { √N+B(0)}/D(0) es:

c(1) = [(m+B(0)) / D(0)], es decir, parte entera de (m+B(0))/D(0), donde m es a su vez la parte entera de √N o el entero siguiente según que sea D(0) positivo o negativo; es decir, m = [√N] o m=[√N]+1, según sea D(0)>0 o D(0)<0.

Ahora será: z={ √N+B(0)}/D(0) = c(1)+1/z1, donde

c(1) es el primer cociente incompleto y z1 es el primer cociente completo, y despejando z1, se tiene: z1= D(0) / {√N+B(0)-c(1) D(0)} = -operando, es decir, racionalizando y simplificando- = {√N+B(1)}/D(1), donde hemos representado B(1) y D(1) respectivamente por:

B(1)=c(1)D(0)-B(0); D(1)=(N-B²(0))/D(0) - c²(1)D(0)+2c(1)B(0), que vuelve a ser un numero entero, porque por hipótesis partimos de que

N-B²(0) era múltiplo de D(0)≠0. Además, D(1)≠0 igual que lo era D(0), puesto que en realidad D(1)={1/D(0)}*{N-(B(0)-c(1)D(0))²}, y si fuera D(1)=0, N sería un cuadrado entero, CONTRADICCIÓN pues se suponía de partida que √N era irracional.

En resumen, el cociente completo z1 es del mismo tipo que z, y podemos aplicarle de nuevo el mismo procedimiento de desarrollo: z1=c(2)+1/z2, y así sucesivamente.

Se pueden ordenar los cálculos de manera muy cómoda, utilizando una y otra vez las mismas fórmulas que hemos visto al pasar de z a z1, de la manera siguiente:

c(n+1)= (parte entera) [(m+B(n))/D(n)] ;

B(n+1)=c(n+1)D(n)-B(n) ;

D(n+1)= (N-B²(n+1))/D(n)

En todo caso será zn = (√N+B(n))/D(n), cociente completo n-ésimo.

El desarrollo limitado hasta zn será: [c(1), c(2)…c(n), zn], notación usual para eludir la dificultad tipográfica de las divisiones en "distintos pisos", es decir, c(1) + (1/(c(2)+ 1/…)))). El desarrollo infinito será el que se busca: [c(1), c(2)…c(n)…].

El cálculo se detiene cuando aparece un mismo cociente completo, o lo que es equivalente, un juego completo de valores coincidentes de c, B y D, lo que indica que la fracción continua es periódica; algo que siempre ocurre por el célebre teorema de Lagrange, que afirma que: el desarrollo de un irracional cuadrático simple en fracción continua simple infinita siempre conduce a una fracción continua periódica.

Ejemplo:

Desarrollemos √7 en fracción continua simple infinita.

m=[√7]=2 (siempre que D(n)>0)

(tomaríamos m= 3, raíz cuadrada entera por exceso, si el denominador fuera D(n)<0).

B(0)=0; D(0)=1>0, luego m=2. Así será c(1)=[√7]=2.

c(1)=2; B(1)=2*D(0)-B(0)=2; D(1)=(7–2²)/1=3.

c(2)=[(2+2)/3]=1 ; B(2)=c(2)*D(1)-B(1)=1*3–2=1; D(2)=(7–1²)/3=2.

c(3)=[(2+1)/2]=1 ; B(3)=c(3)*D(2)-B(2)=1*2–1=1; D(3)=(7–1²)/2=3

c(4)=[(2+1)/3]=1 ; B(4)=c(4)*D(3)-B(3)=1*3–1=2; D(4)=[(7–2²)/3]=1

c(5)=[(2+2)/1]=4 ; B(5)=c(5)*D(4)-B(4)=4*1–2=2; D(5)=[(7–2²)/1]=3

c(6)=[[(2+2)/3]=1 ; B(6)=c(6)*D(5)-B(5)=1*3–2=1; D(6)=[(7–1²)/3]=2.

Ahora hemos llegado a que el juego de valores del orden 6 de c, B y D es igual que el del orden 2:

c(6)=c(2); B(6)=B(2); D(6)=D(2), de modo que se repetirán periódicamente los mismos valores y así, el desarrollo será:

√7 = [2, {1, 1, 1, 4}], con un período de 4 términos {1,1,1,4} o en forma clásica, aunque mucho más incómoda tipográficamente, 2+1/1+1/1+1/1+1/4+…entendiendo como más larga la primera raya de división, y las demás van disminuyendo de longitud sucesivamente de izquierda a derecha.

Con este método siempre se trabaja con los valores exactos y así son también los resultados, mientras que si se reduce a fracción continua una aproximación decimal, por muy precisa que sea, el proceso terminaría, muy frecuentemente, dando cocientes incompletos falsos.

Por ejemplo, en el caso de √991 el número de cocientes incompletos del período es nada menos que 60, y con el método (defectuoso) de conversión a decimal, ni siquiera con 30 decimales podríamos asegurar que la conversión a fracción continua es correcta; y dado cualquier radical cuadrático, nunca sabríamos a priori cuántos decimales bastarán para asegurar que encontraremos el período sin error alguno.

Una propiedad extraña del desarrollo en fracción continua es que números enteros relativamente "pequeños" tienen desarrollos anormalmente largos, un misterio cuyo origen aritmético todavía hoy día no ha sido aclarado en absoluto.