¿Por qué se habla de racionalizar una "fracción" si en definitiva, luego del proceso, la fracción sigue siendo un número irracional?

La terminología matemática muy a menudo se abrevia en exceso o se emplea con poca propiedad.

No es ningún problema siempre que todos entendamos a qué se refiere una expresión o una frase o una manera de nombrar ciertos conceptos. Ahora bien, a veces ese abuso de lenguaje lleva a preguntarse lo que en esta pregunta se inquiere.

Racionalizar una fracción es una expresión incorrecta: en honor a la verdad, no es posible racionalizar ningún número, sea racional o real o incluso complejo; porque si era ya racional lo va a segur siendo, y si no lo era, cualquier racional será distinto de él; o dicho de otro modo, racionalizar una expresión numérica irracional es convertirla en un número racional que será distinto de ella, y más que racionalizarla, lo que hemos hecho es cambiarla por una expresión numérica distinta.

La que sí es frecuente y correcta, es la expresión racionalizar el denominador de una fracción, lo que significa encontrar otra fracción equivalente a ella, esto es, con el mismo valor numérico, pero con el denominador racional. O también, aunque sea mucho menos frecuente y menos útil, se puede hablar de racionalizar el numerador de una fracción.

Por ejemplo, si tenemos la fracción 6 / √3, en los tiempos pre-cibernéticos y pre-calculadoras automáticas, si se quería calcular a mano, había que dividir 6 entre 1.7320508… y además de ser incómodo, por tener tantas cifras el divisor, no podríamos evaluar fácilmente, a primera vista, cuánta precisión vamos a obtener en la operación, o sea, hasta cuántos decimales correctos saldrán al cortar el denominador y reducirlo a un decimal finito.

Para eso se realizaba la operación llamada racionalización del denominador.

En este caso es muy simple, basta multiplicar ambos términos de la fracción por √3 →

6 / √3 = (6 √3) / 3 = 2√3. Evidentemente es más cómodo (al calcular a mano) multiplicar

√3 = 1.7320508…por 2, que dividir un número entero entre un irracional: 6 / √3.

Sin embargo, tanto 6 / √3 como su igual, 2√3 , son números irracionales: es decir, verdaderamente no hemos racionalizado la fracción 6 / √3 sino solo su denominador, que ahora podemos escribir como 1 →

6 / √3 = (2√3 ) / 1 o también podemos suprimir ese 1, y poner tan solo

6 / √3 = 2√3.

En otros casos es algo más complicado; por ejemplo, en 6 / ³√3 el factor racionalizante del denominador (uno de ellos, para ser rigurosos, puesto que hay infinitos) sería ³√3² = ³√9 →

6 / ³√3 = (6 * ³√9) / ³√27 = (6 * ³√9) /3 = (2 * ³√9) / 1 = 2 * ³√9, o bien, = 2 * ³√3².

Pero en la inmensa mayoría de los casos, cuando están en juego varios radicales, la operación de racionalización puede ser de una complicación terrorífica, y la transformación de racionalización del denominador - aunque siempre es posible en todos los casos- deja de tener valor práctico.

Por ejemplo, si tenemos la fracción:

(7 √5 + 4 √2) / (3 + √2 + √3 + √7 - √11 + √19 - 3√15 + √17) habría que multiplicar numerador y denominador por 63 factores irracionales, obtenidos combinando, de todos los modos posibles, los signos de los radicales del denominador, excepto de la manera en que ya aparecen en el denominador; esto es:

(3 + √2 + √3 + √7 - √11 + √19 - 3√15 + √17) (*) → el factor racionalizante es el producto de

63 Factores del tipo (3 ± √2 ± √3 ± √7 ± √11 ± √19 ± 3√15 ± √17) → todos los posibles excepto la distribución de signos de (*) y evidentemente la expresión obtenida es inmanejable, aunque su denominador sea racional.

Si los radicales fueran de índice mayor que 2 incluso -en muchos casos- aparecen números imaginarios, además de la incomodidad del inmenso número de factores que componen el factor racionalizante.

Por tanto, solo en casos muy simples merece la pena racionalizar el denominador de una fracción numérica o algebraica. Y si tan solo se trata de calcular su valor numérico, cualquier calculadora o programa informático puede realizar los cálculos sin necesidad de racionalizar el denominador.

Por ejemplo, en el caso sencillo 5 / (√7 - √3), el factor que racionaliza el denominador es la expresión conjugada de √7 - √3, o sea, √7 + √3 → multiplicando por ella ambos términos de la fracción:

5 / (√7 - √3) = 5 (√7 + √3) / [ (√7 - √3) (√7 + √3 ) ] = 5 (√7 + √3) / (7 - 3) = 5 (√7 + √3) / 4.

Así pues, la racionalización es una "operación" propia de otros tiempos, pero a veces sí que es una maniobra simplificadora; y puede servir para manejar cálculos con radicales y practicar esa clase de operaciones; no obstante, y de todos modos, la racionalización de denominadores se sigue estudiando hoy en día en los estudios de la enseñanza secundaria más por tradición que por auténtica utilidad.