¿Permiten las fracciones continuas simplificar la representación de la irracionalidad?

En algunos casos sí, especialmente en el caso de los irracionales cuadráticos simples (son los de la forma [a+√b]/c, con a, b, c racionales, b>0 no cuadrado perfecto, y c≠ 0); la fracción continua que los desarrolla es periódica (puede ser pura o mixta).

Por ejemplo, (3+√11)/7 no es tan sencillo de apreciar de un solo vistazo como su desarrollo en fracción continua simple infinita: [0, 1, {9,4,9,23}], donde el periodo está encerrado entre llaves: {9,4,9,23}.

Por supuesto, por dificultad tipográfica empleamos la notación simbólica abreviada con los corchetes, puesto que la notación aritmética explícita es:

0+ 1/(1+(1/(9+(…)))…).

Ciertamente, el simple hecho de ser infinita la fracción continua indica en muchos casos (en particular cuando es simple) que el número correspondiente es irracional: así demostró Lambert por primera vez (1761), que el número π es irracional, pues encontró un desarrollo en fracción continua para tan x, que mostraba que si x≠ 0, tan x es irracional cuando x es racional. Como tan (π/4)=1, entonces π/4 y por tanto π deben ser ambos irracionales.

En el caso de otros números algebraicos, o incluso trascendentes, el desarrollo en fracción continua puede ser desconocido o conocido, pero tremendamente complicado, y son pocos los números trascendentes o incluso algebraicos, no cuadráticos simples, para los que se conoce su desarrollo completo en fracción continua simple infinita. Por ejemplo, no se sabe actualmente cual es el desarrollo completo de 2^(1/3) en fracción continua simple infinita, pero sí se conoce el desarrollo completo del número e :

e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,…]

Menos conocida es la fracción continua exacta para la raíz cuadrada de e :

√e = [1; {4k-3, 1,1}] donde k toma todos los valores naturales desde 1 en adelante; es decir,

√e = [1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1, 1, 17, 1, 1…]

Y también el valor exacto de tan 1 en fracción continua simple infinita:

tan 1 = [(1,2n−1)desde n=1 hasta ∞]=[1,1,1,3,1,5,1,7,1,9, 1, 11, 1…].

Para el número π o valores sencillamente relacionados con π hay fracciones continuas exactas, infinitas y conocidas, pero no se conoce aún su fracción continua simple infinita (con numeradores iguales a 1 y denominadores enteros positivos). Los primeros cocientes incompletos para π son:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...].

También se puede aproximar la raíz cúbica de 2 a partir de sus primeros cocientes incompletos, y las fracciones "reducidas" correspondientes (los anglosajones las llaman fracciones "convergentes").

2^(1/3) = [1,3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2, . . .],

La fracción continua de Apéry logró probar que la demostración de que la función zeta en valores impares positivos tomaba valores irracionales, era abordable y pudo demostrar, con un gran trabajo ad hoc, que ζ(3)= 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ +…

es un número irracional (no se sabe si trascendente).

En general, desarrollar cualquier número irracional en fracción continua infinita y exacta es un problema terroríficamente difícil y prácticamente abierto hoy día, salvo casos muy, muy concretos, como los citados o algunos otros casos excepcionalmente resueltos.