¿Cuál es la razón por la que para multiplicar fracciones debemos hallar el producto de los numeradores y dividirlo por el producto de los...

Cuando se dice "fracciones", habría que aclarar si se refiere a fracciones de términos enteros positivos, o fracciones con términos enteros de cualquier signo (siempre en todos los casos con el denominador distinto de cero) o si se refiere a fracciones algebraicas o a fracciones de términos en cualquier cuerpo conmutativo, etc.

Supongamos que por fracciones se entiende los "números" racionales que admiten una fracción representante de la forma a/b, con a y b enteros de signos cualesquiera (elementos de ℤ), siempre con b ≠ 0.

También suponemos que se ha definido la suma de números racionales representados por fracciones, mediante la definición usual, y que se conocen sus propiedades básicas.

"Multiplicar" puede referirse a cualquier operación definida entre los números racionales, esto es, los que pueden representarse por una fracción (y además por otras infinitas fracciones).

Si nos referimos a la multiplicación usual, antes de definirla, deberíamos tratar de garantizar que esa "multiplicación" verifique las propiedades básicas que tiene la multiplicación de enteros (elementos de ℤ); porque los propios enteros podemos representarlos como fracciones:

m = m/1; si por ejemplo, sabemos que (+5) * (+6) = +30, cuando definamos la multiplicación de fracciones debería cumplir que (+5/1) * (+6/1) = +30/1.

Y como (-3) * (+5) = -15 → querríamos que (-3/1) * (+5/1) = -15/1, etc.

Pero además, la multiplicación de enteros tiene las propiedades generales:

Conmutativa: Para cualesquiera x, y enteros, es x * y = y * x.

Asociativa: Para cualesquiera x, y, z enteros, es (x * y) * z = x * (y * z)

Distributiva (respecto de la suma): Para cualesquiera x, y, z enteros, es

x * ( y + z ) = x * y + x * z

Existe elemento neutro (es el 1) : Para todo x entero, es x * 1 = 1 * x = 1.

Supongamos que ya hemos definido el producto (a/b) * (c/d), suponiendo a partir de ahora, mientras no advirtamos expresamente lo contrario, que sean positivos todos los términos, puesto que los productos con factores negativos podemos definirlos como en los enteros, mediante la misma regla de los signos, para conservar en el producto de fracciones el paralelismo con la multiplicación de enteros; y supongamos que hemos conseguido que esa operación interna tenga todas las propiedades anteriormente señaladas.

De la construcción de los números racionales sabemos que las fracciones equivalentes a cierta fracción a/b son todas las del tipo (am)/(bm) (m es cualquier entero distinto de cero) y las del tipo (a/d) / (b/d) siendo d cualquier entero divisor común de los enteros a y b.

Si n es un entero positivo cualquiera, podemos identificar las fracciones del tipo n / 1 (y sus equivalentes) con el entero positivo n, las negativas, del tipo -n / 1 (y sus equivalentes), con -n

y la fracción 0 / 1 y sus equivalentes (0 / k, con k ≠ 0) la identificamos con 0; porque se comportan igual con la suma: m/1 + n/1 = (m + n) / 1.

Así, siendo b entero, b > 0, será:

1/b + 1/b + 1/b +… [b sumandos iguales]…+ 1/b = (por definición de suma de fracciones) =

= (1 + 1 + …[b sumandos iguales a 1] + …+1) / b = b / b; simplificando entre b →

b/b = 1/1 = 1 (&)

Pero si queremos que la multiplicación tenga la propiedad distributiva, será:

1/b + 1/b + 1/b +… [b sumandos iguales]…+ 1/b = (1/b) * 1 + (1/b) * 1 + … (1/b) * 1 =

(1/b) * (1 + 1 + [b sumandos iguales] …+1) = (1/b) * b; como antes (&) hemos obtenido 1,

para esta suma, debermos definir : (1/b) * b = b * (1/b) = 1.

Del mismo modo, si se deben cumplir las propiedades citadas, si a y b son enteros positivos,

a/b = a * (1/b) ; en efecto, a = 1 + 1 + [a veces] …+1 → a/b = (1 + 1 + [a veces] …+1)/b =

(por definición de suma) = 1/b + 1/b + 1/b +… [a veces]…+ 1/b =

= (1/b) * (1 + 1 + [a veces] …+1) = (1/b) * a = (prop. conmutativa) = a * (1/b), como queríamos demostrar.

Igualmente, siendo a y b enteros positivos, (a/b) * b = [a * (1/b)] * b = a * [(1/b)* b] =

= a * 1 = a.

Veamos cómo definir (1/b) * (1/c), siendo b y c enteros positivos cualesquiera.

Se cumple b * (1/b) = 1 ; c * (1/c) = 1 → b * (1/b) * c * (1/c) = 1 → (b * c) * [(1/b) * (1/c)] = 1 →

También es (b * c) / (b * c) = 1 → 1 = (b * c) * 1 / (b * c) = (b * c) * [(1/b) * (1/c)] →

(b * c) * 1 / (b * c) - (b * c) * [(1/b) * (1/c)] = 0 → (b * c) * { 1 / (b * c) - [(1/b) * (1/c)] } = 0.

Pero si en general es m F = m G, siendo m entero positivo, F, G fracciones cualesquiera, incluyendo que sean números enteros (que hemos identificado con fracciones de denominador 1), se verificará:

m F - m G = 0 → m (F - G) = 0 ; pero sabemos que si x, y son enteros cualesquiera, con y ≠ 0,

m * (x/y) = (1+1+ [m veces]…+1) * (x/y) = 1 * (x/y) + 1 * (x/y) + … [m veces]… + 1 * (x/y) =

(x/y) + (x/y) + … [m veces]… + (x/y) = (x+ x + [m veces] …+x) / y = (mx) / y ≠ 0.

Por tanto, si m (F - G) = 0 → necesariamente es m = 0, o bien F - G = 0; pero como m era entero positivo, solo puede ser F - G = 0 → F = G.

Aplicando esto a lo anterior, teníamos que:

(b * c) * { 1 / (b * c) - [(1/b) * (1/c)] } = 0 con (b * c) ≠ 0 → necesariamente debe ser:

1 / (b * c) - [(1/b) * (1/c)] = 0 → (1/b) * (1/c) = 1 / (b * c), que es la fórmula que emplearemos como definición de producto de dos fracciones de numerador 1.

Si ahora el numerador es cualquiera, sea (a/b) * (c/d), y veamos cómo definir este producto de manera que se cumplan todas las propiedades establecidas anteriormente.

Tendremos (a/b) * (c/d) = a * (1/b) * c * (1/d) = (a * c ) * { (1/b) * (1/d) } = (a * c ) * [1 / (b * d) ] =

(a * c ) / (b * d), que es la fórmula conocida:

NUMERADOR = producto de numeradores, y

DENOMINADOR = producto de denominadores.

Si las fracciones tienen otro signo, empleamos la regla de los signos:

+X+ = + ; +X- = - ; -X+ = - ; -X- = +.

Y se comprueba fácilmente que así se cumplen las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva de la multiplicación respecto de la suma, existencia de elemento neutro y existencia de elemento inverso para toda fracción distinta de cero: esto es, si a/b ≠ 0 , su inversa es b/a → (a/b) * (b/a) = (ab)/ (ab) = 1.

Resulta así un cuerpo conmutativo formado por todos los números racionales, representados por cualquiera de sus fracciones equivalentes.