¿Es π² + e² un número irracional?

Tanto ππ como ee son ambos trascendentes y, por tanto, sus cuadrados no pueden ser algebraicos.

Demostración:

Si el cuadrado de w es algebraico, entonces w también lo es…

Si w2w2 es algebraico significa que es raíz de un polinomio P(x) con coeficientes enteros.
Es decir, P(w^2) = 0
Pero P(w^2) es otro polinomio Q(w) con coeficientes enteros, el cual tiene potencias pares en w … así que w es solución y, por tanto, w es algebraico.

Por tanto, si w no es algebraico (si es trascendente), entonces w2w2 , su cuadrado, tampoco es algebraico, también debe ser trascendente.

Ahora bien, la pregunta es si la suma de esos cuadrados, que ya sabemos que son trascendentes, será racional o irracional.

La suma de dos trascendentes puede ser racional… Por ejemplo: (10+e) y (10-e) son trascendentes y, por tanto, irracionales, pero su suma es 20, que es racional.
Pero también puede ser trascendente la suma de 2 trascendentes. Por ejemplo: e+e = 2 e … dado que e es trascendente la suma de e + e también lo debe ser.

Veamos algunas operaciones donde aparece la suma de cuadrados:

(π+e)2=π2+e2+2∗π∗e(π+e)2=π2+e2+2∗π∗e

(π−e)2=π2+e2−2∗π∗e(π−e)2=π2+e2−2∗π∗e

(π−e)(π+e)=π2−e2=π2+e2−2∗e2(π−e)(π+e)=π2−e2=π2+e2−2∗e2

Por un poco de culturilla general se que de los números
(π+e)(π+e) ,
π∗eπ∗e ,
(π−e)(π−e)
no se sabe si son trascendentes y ni siquiera se sabe si son racionales o irracionales.
List of unsolved problems in mathematics - Wikipedia

Si fuese racional la suma de cuadrados, al restarle 2 veces el cuadrado de e que es trascendente sería trascendente. Y eso implicaría que la suma por la diferencia sería trascendente… luego no podrían ser ambos racionales.

Por otro lado, dado que tanto PI como e son trascendentes, sabemos que o bien la suma o bien el producto debe ser trascendente. No pueden ser ambos racionales.
Si ambos fuesen racionales, el polinomio:
(x−e)(x−π)=x2−(e+π)x+e∗π(x−e)(x−π)=x2−(e+π)x+e∗π

sería algebraico y, por tanto, sus raíces que son e y PI serían ambos algebraicos y sabemos que ninguno lo es.
Por tanto, si sabemos que la suma y el producto no pueden ser ambos racionales, entonces:
en caso de ser racional la suma de cuadrados, implicaría que el producto y la suma son ambos trascendentes.
Y de la ecuación del cuadrado de la resta, si la suma de cuadrados es racional y el producto es trascendente, entonces la resta sería trascendente seguro.

Esto demuestra que no se sabe lo que pide la pregunta.
Es una cuestión abierta en matemáticas.
O bien es irracional seguro…

Si se supiese y si fuese racional, también se sabría que la resta es trascendente, lo cual es falso, ya que eso no se sabe.

Por otro lado:

(x−e2)(x−π2)=x2−(e2+π2)x+e2∗π2(x−e2)(x−π2)=x2−(e2+π2)x+e2∗π2

Si se supiese y fuese racional sabríamos con seguridad que el producto e*PI no es racional… lo cual es falso, ya que eso no se sabe.

Por tanto, en caso de saberse, sería irracional… De lo contrario se habría resuelto una cuestión abierta en Matemáticas.
Lo más probable es que no se sepa… lo que pide la pregunta creo que es una cuestión abierta en Matemáticas, que nadie lo sabe.