¿Entre dos números racionales siempre existe un número irracional?

Si dos números racionales son distintos al menos existirá un número irracional entre ellos, pero ¡no solamente uno sino infinitos irracionales!.

¿Por qué?
Vamos a construir primero un irracional entre dos racionales cualesquiera.

Primero buscaré un racional que esté entre dos racionales… El más famoso se llama “punto medio” o “valor medio”.

Dados dos racionales “a” y “b”, el punto medio, “m” es la suma dividida por 2.

m=a+b2m=a+b2

¿Por qué sabemos que ese punto medio está siempre entre ambos números?

Bien, supongamos que “a” y “b” están ordenados, es decir, que “a” es menor que “b”.
En caso contrario los cambiamos de nombre…
Esto se escribe:

a < b

ahora sumamos b en ambos lados de la desigualdad

a+b < b+b

a+b < 2b

Y ahora dividimos entre 2:

m < b

Si en lugar de sumar b a ambos lados sumamos a:

a < b
a+a < b+a

2a < b+a

Y dividiendo entre 2:

a < m

Así que a < m < b

Y, por tanto, m, el valor medio, está entre “a” y “b”

Ahora bien, la pregunta dice un irracional y lo que hemos encontrado es un racional entre “a” y “b”.

Lo que haremos será sumar un irracional a esa media pero sin salirnos del intervalo entre “a” y “b”.

La distancia entre “a” y “b” es (b-a).

Y el punto medio está a la misma distancia de “a” y de “b”, es decir:
(m-a) = (b-m)

Por tanto,
2m = b+a
m = (b+a)/2

Y, ¿cuánto es (m-a) = (b-m) ?

m - a = a/2 + b/2 - a = b/2 - a/2 = (b-a)/2

b-m = b - (a/2 + b/2) = b/2 - a/2 = (b-a)/2

Eso significa que podremos sumar algo a m… siempre que ese algo sea menor que (b-m) porque si fuese mayor nos pasamos, sería mayor que b, y, por tanto, no estaría entre a y b.

Eso es tan fácil como hacer:

m + f * (b-m)

Siempre que f (el “factor”) sea un número mayor que 0 y menor que 1.

Y ese f deberá ser irracional
¿Cómo podemos encontrar irracionales positivos menores que 1?

Pista 1: los irracionales más “famosos” o sencillos son las raíces cuadradas de enteros que no sean cuadrados perfectos.
En particular, la ráiz de un número primo es irracional.
Demostración:
supongamos que fuese racional...

p–√=ndp=nd

siendo n un numerador entero y d el denominador entero

elevando al cuadrado:
p=n2d2p=n2d2

Y esto no puede ser: si la fracción era irreducible (si no lo fuese bastaría simplificarla) esa expresión significa que “d” debe ser 1, para que la división de cuadrados resulte ser un entero… pero si d es 1 el número primo p resultaría ser un cuadrado y eso es imposible.

Por tanto, raíz de 2 es irracional, al igual que raíz de 3, raíz de 5 … y de cualquier primo (de hecho, de cualquier número que no sea cuadrado perfecto)

Pista 2: si multiplicamos un irracional por un racional mayor que cero, el resultado es irracional.

Si fuese racional, bastaría dividir por el factor racional y la división de dos racionales tendría que ser racional, lo que sería contradictorio a que sea irracional.

Y esto nos sirve para transformar una raíz en un número menor que 1

Sea p–√p siendo p un número primo…

Si dividimos por p será menor que 1.

p–√p<1pp<1

¿Por qué?

Porque si elevamos al cuadrado tenemos:

pp2=1p<1pp2=1p<1

Y ya tenemos los infinitos irracionales entre “a” y “b”.

Nuestro factor “f” irracional, positivo y menor que 1 es :

f=p–√p=1p–√f=pp=1p

Los irracionales serían de la forma:

m+b−mp–√m+b−mp

Siendo p cualquier número primo y m el punto medio.
Como los primos son infinitos eso nos da infinitos irracionales, todos ellos entre cualquier par de racionales “a” y “b”.

Por supuesto, hay muchos más irracionales… simplemente di un conjunto infinito de ellos, pero hay muchísimos más.

Añado: Si eso de generar infinitos usando los primos es incómodo (porque no hay una fórmula rápida de generar todos los primos) pueden usarse otros irracionales… por ejemplo, los logaritmos naturales de enteros mayores que 1:
ln(2), ln(3), … que ya demostré en otra pregunta de Quora que son irracionales.
Y para que sean menores que 1 podemos dividir por el entero que va dentro del logaritmo: ln(n)/n para todo n mayor o igual que 2.

m+(b−m)∗ln(n)nm+(b−m)∗ln⁡(n)n

O más fácil que todo eso… Simplemente dividir la raíz cuadrada de 2 entre 2, entre 3, entre 4, entre 5… siempre será menor que 1 y nunca jamás racional.

m+(b−m)∗2–√nm+(b−m)∗2n