¿Cómo se puede resolver esta integral?

Para resolver esta integral, primero nótese que

eisin(x)=cos[sin(x)]+isin[sin(x)]eisin⁡(x)=cos⁡[sin⁡(x)]+isin⁡[sin⁡(x)]

Por lo que se puede considerar la integral completa.

I=∫∞0ecos(x)eisin(x)xdx=∫∞0ecos(x)+isin(x)xdx=∫∞0eeixxdxI=∫0∞ecos⁡(x)eisin⁡(x)xdx=∫0∞ecos⁡(x)+isin⁡(x)xdx=∫0∞eeixxdx

Ahora, lo que se hace es considerar la integral compleja

∫eeizzdz∫eeizzdz

Se nota que la función es holomorfa en todo CC, excepto en z=0z=0, por lo que considerando los límites, se utiliza un contorno que evita la singularidad, pero que se acerca a ella. Este contorno es de la siguiente manera:

Es decir, se considera que la integral se puede descomponer en cuatro integrales.

∫Cf(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz+∫C3f(z)dz+∫C4f(z)dz∫Cf(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz+∫C3f(z)dz+∫C4f(z)dz

La integral que se quiere se obtiene cuando ε→0ε→0. Además, el contorno propuesto no contiene estrictamente la singularidad, por lo tanto, por el teorema de Cauchy-Goursat[1], se sabe que la integral será igual a 00.

∫Cf(z)dz=0∫Cf(z)dz=0

Pero ¿por qué se usa este contorno? En primer lugar, en C1C1 se barre únicamente en el eje real, es decir, en el eje xx; en C2C2 se recorre un arco dado por z=reiθz=reiθ que lleva a una integral my fácil de resolver. En C3C3 se recorre exclusivamente el eje imaginario y en C4C4 se recorre el arco dado por z=εeiθz=εeiθ que, con la condición dada, será muy sencillo de calcular.

Con las derivadas relevantes, se llega a la siguiente expresión:

∫Ceeizzdz=∫rεeeixxdx+∫π20eei(reiθ)reiθ(ireiθdθ)+∫εreei(iy)iyidy+∫0π2eei(εeiθ)εeiθ(iεeiθdθ)∫Ceeizzdz=∫εreeixxdx+∫0π2eei(reiθ)reiθ(ireiθdθ)+∫rεeei(iy)iyidy+∫π20eei(εeiθ)εeiθ(iεeiθdθ)

Considerando ε→0ε→0 y simplificando los integrandos se llegan a las siguientes expresiones:

∫Ceeizzdz=∫rεeeixxdx+i∫π20eeireiθdθ−∫rεee−yydy−i∫π20eeiεeiθdθ=0∫Ceeizzdz=∫εreeixxdx+i∫0π2eeireiθdθ−∫εree−yydy−i∫0π2eeiεeiθdθ=0

Se aplica la condición ε→0ε→0 y r→∞r→∞. Para la segunda integral, como r→∞r→∞, se llega a e0e0 [2]y la integral corresponde a la diferencia de los límites que da como resultado

i∫π20limr→∞eeireiθdθ=i∫π20e0dθ=iπ2i∫0π2limr→∞eeireiθdθ=i∫0π2e0dθ=iπ2

Por otra parte, para la cuarta integral se aplica ε→0ε→0:

i∫π20limε→0eeiεeiθdθ=i∫π20e1dθ=iπe2i∫0π2limε→0eeiεeiθdθ=i∫0π2e1dθ=iπe2

Así, despejando

∫Ceeizzdz=∫∞0eeixxdx−∫∞0ee−yydy=π(e−1)2i(1)(1)∫Ceeizzdz=∫0∞eeixxdx−∫0∞ee−yydy=π(e−1)2i

Se reescribe la integral en términos de xx con el componente real e imaginario.

∫∞0eeixxdx=∫∞0ecos(x)cos[cos(x)]xdx+i∫∞0ecos(x)sin[sin(x)]xdx∫0∞eeixxdx=∫0∞ecos⁡(x)cos⁡[cos⁡(x)]xdx+i∫0∞ecos⁡(x)sin⁡[sin⁡(x)]xdx

De (1)(1) entonces la parte real de la ecuación es

Re∫Ceeizzdz=∫∞0ecos(x)cos[cos(x)]xdx−∫∞0ee−yydyRe∫Ceeizzdz=∫0∞ecos⁡(x)cos⁡[cos⁡(x)]xdx−∫0∞ee−yydy

mientras que la parte imaginaria corresponde a

Im∫Ceeizzdz=∫∞0ecos(x)sin[sin(x)]xdxIm∫Ceeizzdz=∫0∞ecos⁡(x)sin⁡[sin⁡(x)]xdx

Con esto, se llega al resultado

∫∞0ecos(x)sin[sin(x)]xdx=π(e−1)2∫0∞ecos⁡(x)sin⁡[sin⁡(x)]xdx=π(e−1)2

Una segunda manera de resolver este problema se propone por Cornel Ioan Vălean en su maravilloso libro (Almost) Impossible Integrals, Sums and Series y que es la primera solución que conocí a esta integral. Básicamente, él obtiene una serie comenzando con la identidad de Euler y que al emplearla en la integral logra hacerla mucho más sencilla que al comienzo.

∑n=1∞pnsin(nx)n!=Im[∑n=1∞(peix)nn!]=Im[epeix−1]=Im[epcos(x)eipsin(x)]=Im[ecos(x)cis(psin(x))]=ecos(x)sin(psin(x))∑n=1∞pnsin⁡(nx)n!=Im[∑n=1∞(peix)nn!]=Im[epeix−1]=Im[epcos⁡(x)eipsin⁡(x)]=Im[ecos⁡(x)cis(psin⁡(x))]=ecos⁡(x)sin⁡(psin⁡(x))

Así, se escoge p=1p=1 y el problema se resuelve casi de inmediato.

∫∞0ecos(x)sin[sin(x)]xdx=∫∞01x∑n=1∞sin(nx)n!dx=∑n=1∞1n!∫∞0sin(nx)xdx∫0∞ecos⁡(x)sin⁡[sin⁡(x)]xdx=∫0∞1x∑n=1∞sin⁡(nx)n!dx=∑n=1∞1n!∫0∞sin⁡(nx)xdx

La última integral corresponde a la integral de Dirichlet, cuyo resultado ya es conocido. Utilizando directamente su valor, se sigue con el desarrollo.

∫∞0ecos(x)sin[sin(x)]xdx=∑n=1∞1n!π2=π(e−1)2∫0∞ecos⁡(x)sin⁡[sin⁡(x)]xdx=∑n=1∞1n!π2=π(e−1)2

Nuevamente

∫∞0ecos(x)sin[sin(x)]xdx=π(e−1)2∫0∞ecos⁡(x)sin⁡[sin⁡(x)]xdx=π(e−1)2

Notas al pie