¿Cómo se puede integrar (x+1) / (x^2-1)?

Sea

I=∫x+1x2−1dxI=∫x+1x2−1dx

Como no podemos dividir (por el momento), la división se queda como está.

Tiene pinta de logaritmo natural, o si no, de arcotangente. Veamos cuál de las dos es.

Si te fijas,

x2−1x2−1

es de tipo

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a−b)=a2−b2

por lo que se puede reescribir como

(x+1)(x−1)(x+1)(x−1)

quedando la integral así:

I=∫x+1(x+1)(x−1)dxI=∫x+1(x+1)(x−1)dx

La división ahora sí se puede simplificar, quedando

I=∫1x−1dxI=∫1x−1dx

Esta integral es de este tipo:

I′=∫1x+adx=ln(|x+a|)+CI′=∫1x+adx=ln⁡(|x+a|)+C

donde aa y CC son constantes no estrictamente positivas.

Por tanto, tenemos finalmente que

I=∫x+1x2−1dx=∫1x−1dx=ln(|x−1|)+CI=∫x+1x2−1dx=∫1x−1dx=ln⁡(|x−1|)+C

Nota: Nótese que es una integral indefinida, por tanto, no hay que utilizar la ley de Barrow o cualquier otra ecuación para el cálculo de áreas.