¿Cómo se puede saber si una función es integrable en Riemann y cómo demostrarlo rigurosamente?

Hola! Acá mando una definición de las funciones Riemann integrables:

Una partición de un intervalo [a,b] es una función creciente π:{1,2…, k+1} -> [a,b] tal que π(1) = a y π(k) = b. Dada f:[a,b]->R una función acotada (es decir, existe K en R tal que -K [a,b] como M(i) = sup { f(x) | π(i) <= x <= π(i+1) } y m(i) = inf { f(x) | π(i) <= x <= π(i+1) }

Es decir, m(i) y M(i) son los menores y mayores valores que alcanza f en cada intervalito de la partición.

Entonces, fijada la función f, y una partición π de f, definís sπ y Sπ, la suma inferior y superior asociada a π, como:

sπ= f(m1)(π2-π1) +… f(mi)(π(i+1)-π(i)) +… f(mk)(π(k+1)-π(k))

Sπ = f(M1)(π2-π1) +… f(Mi)(π(i+1)-π(i)) +… f(Mk)(π(k+1)-π(k))

f es integrable Rieman si sup{sπ| π es partición de [a,b]} = inf{Sπ| π es partición de [a,b]}.

Para probar que una función es Riemann integrable, alcanza q pruebes que, para cualquier r>0 podés encontrar algunas π, y `π particiones de [a,b] tales q Sπ - s(`π) < r.

Esto es equivalente a que los ínfimos y el supremo de arriba coincidan. Pasa porque sπ <= S(`π) para cualquier par de particiones. Podés imaginar el conjunto de las sumas superiores a la derecha del conjunto de las sumas inferiores. Luego si podés aproximar una superior con una inferior tanto como quieras, el ínfimo y supremo deben estar entre las dos. Tomás limite y no les queda otra q ser el mismo numero.

Lo más lioso es ver sπ =< S(`π) para cualquier par de particiones. Para esto podés decir:

Def: Una partición π es una refinación de otra partición `π si esta última es una subsuscesión de la primera

Después podés ver que S(`π) =< S(π) y que sπ =< s(`π) si `π es refinación de π. Esto es sencillo de hacer por inducción, Tomás una partición le agregás un punto y chequeás q aumentó o disminuyó.

Por último, como es claro s(π) =< S(π) para toda partición, si Tomás la unión de dos particiones πU`π, entonces

s(π) <= s(πU`π)<= S(πU`π) <= S(`π), para todas π, `π particiones. Lo que había que ver.