¿Cómo demostrarías que la función f(x) = x + [x] es integrable o no, mediante la definición epsilon-partición?

No me tomaría la molestia. ff es acotada y continua salvo una cantidad numerable de discontinuidades, luego es integrable.

Más interesante es demostrar que una función ff es integrable si es acotada y tiene una cantidad numerable de discontinuidades. Eso se llama el criterio de Lebesgue y puede que requiera un poquito de ingeniería para probarse.

El chiste es que, lejos de las discontinuidades, la variación en cada subintervalo puede hacerse tan chiquita como te dé la gana tomando una partición lo suficientemente fina. En los subintervalos que contengan las discontinuidades la variación nunca va a ser arbitrariamente pequeña, pero sí puedes reducir la longitud del subintervalo para que el área del rectángulo sea tan pequeña como lo necesites.

Si lo que quieres es usar el criterio épsilon-partición para esta función en concreto a manera de ejercicio, piensa en una partición homogénea de [a,b][a,b] en NN subintervalos de longitud δ=b−aNδ=b−aN. Para cada subintervalo [xi−1,xi][xi−1,xi] que está contenido en un trozo [k,k+1)[k,k+1), la variación en ese subintervalo es δδ. Para un subintervalo [xi−1,xi][xi−1,xi] que no esté contenido en ningún trozo, se tiene k∈(xi−1,xi)k∈(xi−1,xi) para cierto entero kk, de modo que la función da un salto allí y la variación resulta ser 1+δ1+δ.

Si supones que hay rr enteros en [a,b][a,b], entonces rr de los subintervalos contienen un entero, y N−rN−r no contienen alguno. De aquí resulta que

Uf,P−Lf,P=δ2(N−r)+δ(1+δ)r=δ(b−a)N−rN+δ(1+δ)r.Uf,P−Lf,P=δ2(N−r)+δ(1+δ)r=δ(b−a)N−rN+δ(1+δ)r.

No es difícil ver que los términos del lado derecho se van a cero cuando N→∞N→∞.