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I=∫dx2+x29−x2−−−−−−−−−√=∫dx18−x29−x2−−−−−−−√.I=∫dx2+x29−x2=∫dx18−x29−x2.

El dominio -no trivial- de la función es

x≤−32–√∨−3<x<3∨x≥32–√,x≤−32∨−3

esto es, hay 2 zonas en donde la función no existe. En general, la función

f(x)=a−bx2c−dx2−−−−−−−√,f(x)=a−bx2c−dx2,

estará definida siempre que

bdx4−(ad+bc)x2+ac≥0∧c−dx2≠0.bdx4−(ad+bc)x2+ac≥0∧c−dx2≠0.

Considérese ahora la integral

J=∫dxa−bx2c−dx2−−−−−−−√.J=∫dxa−bx2c−dx2.

Haciendo el cambio de variable sinθ=xd/c−−−√sin⁡θ=xd/c, la integral se transforma en

J⇒ad−−√∫dθ1−ksin2θ−−−−−−−−−√,conk=bcad.J⇒ad∫dθ1−ksin2⁡θ,conk=bcad.

Sin pérdida de generalidad, puedo hacer (¿por qué?)

J=ad−−√∫ϕ0dθ1−ksin2θ−−−−−−−−−√,en dondeϕ=arcsin(xd/c−−−√)∧k=bcad.J=ad∫0ϕdθ1−ksin2⁡θ,en dondeϕ=arcsin⁡(xd/c)∧k=bcad.

Esta última integral es La Integral Elíptica Incompleta de 2da Especie, i.e.

E(k,ϕ)=∫ϕ0dθ1−ksin2θ−−−−−−−−−√,E(k,ϕ)=∫0ϕdθ1−ksin2⁡θ,

la cuál se puede tomar como una función especial completamente operativa, por lo que la integral queda

J=ad−−√E(bcad,arcsin(xd/c−−−√)).J=adE(bcad,arcsin⁡(xd/c)).

Mientras que para el caso específico de la pregunta:

I=32–√E(12,arcsin(x/3)).I=32E(12,arcsin⁡(x/3)).

Extra:

La integral elíptica incompleta puede ser expresada en términos de una serie de Appell:

E(k,ϕ)=sin(ϕ)F1(12,12,−12,32,sin2ϕ,ksin2ϕ),E(k,ϕ)=sin⁡(ϕ)F1(12,12,−12,32,sin2⁡ϕ,ksin2⁡ϕ),

para ϕ<π/2.ϕ<π/2. En el caso de que la integral elíptica sea completa, i.e. E(k,π/2),E(k,π/2), se tiene la función hipergeométrica

E(k,π/2)=2F1(−12,12;1;k).E(k,π/2)=2F1(−12,12;1;k).