¿Por qué al resolver la integral de e^x/ (1-sqrt(e^x)), el denominador de la integral pasa a ser t-1 en vez de 1-t? ¿Por qué sale una solución...

Sea

I=∫ex1−ex−−√dxI=∫ex1−exdx

Si realizamos los siguientes cambios de variable:

u=ex⟶dudx=ex⟶du=exdxu=ex⟶dudx=ex⟶du=exdx

obtenemos que

I=∫11−u−−√duI=∫11−udu

Si ahora realizamos estos otros cambios de variable:

t=u−−√⟶dtdu=12u−−√=12t⟶dt=12tdu⟶du=2tdtt=u⟶dtdu=12u=12t⟶dt=12tdu⟶du=2tdt

obtenemos que

I=∫11−t2tdt=2∫t1−tdtI=∫11−t2tdt=2∫t1−tdt

Si multiplicamos con −1−1−1−1 a ambos lados de la igualdad, obtenemos que

I=−2∫tt−1dtI=−2∫tt−1dt

De aquí viene el cambio del denominador de 1−t1−t a t−1.t−1.

Para resolver la integral, ahora realizamos la división entre dos polinomios: P(t)=tP(t)=t (polinomio de primer grado con c=0,c=0, donde cc es la constante) y d(t)=t−1d(t)=t−1 (polinomio de primer grado con c=−1c=−1). Esta división tiene como resultado Q(t)+R(t)d(t),Q(t)+R(t)d(t), donde Q(t)Q(t) es el cociente y R(t)R(t) el resto. El proceso es así:

Vemos que el cociente es 1,1, pero los signos debajo de tt están invertidos. Eso es porque estamos restando lo opuesto a P(t).P(t).

Por tanto,

I=−2∫(1+1t−1)dtI=−2∫(1+1t−1)dt

La integral ahora es inmediata:

I=−2(t+ln(|t−1|)+C)I=−2(t+ln⁡(|t−1|)+C)

donde CC es una constante de integración.

Haciendo el cambio de variable t→u−−√:t→u:

I=−2(u−−√+ln(|u−−√−1|)+C)I=−2(u+ln⁡(|u−1|)+C)

Haciendo el cambio de variable u→ex:u→ex:

I=−2(ex−−√+ln(∣∣ex−−√−1∣∣)+C)I=−2(ex+ln⁡(|ex−1|)+C)

Si no hubiéramos multiplicado con −1−1,−1−1, tendríamos que

I=2∫t1−tdtI=2∫t1−tdt

y tendríamos una división polinómica dentro de la integral mucho más compleja. Si se puede reducir el nivel de dificultad, mucho mejor.

No es una solución distinta. Es la misma solución, porque multiplicar con −1−1−1−1 es lo mismo que multiplicar con 11 y multiplicar con 11 no altera nada. Recordemos que 11 es el elemento neutro de la multiplicación y por tanto, dado un número cualquiera a,a, se cumple que

1⋅a=a⋅1=a1⋅a=a⋅1=a