¿Por qué la integral de tg^2(x) /cos^2(x) es igual a tg^3(x) /3 + C?

Queremos calcular la siguiente integral:

I=∫tg2(x)cos2(x)dxI=∫tg2(x)cos2⁡(x)dx

Por definición, la secante es

sec(x)=1cos(x)sec⁡(x)=1cos⁡(x)

luego

sec2(x)=[1cos(x)]2=12cos2(x)=1cos2(x)sec2⁡(x)=[1cos⁡(x)]2=12cos2⁡(x)=1cos2⁡(x)

y por tanto la integral se puede reescribir como

I=∫tg2(x)sec2(x)dxI=∫tg2(x)sec2⁡(x)dx

Hagamos los siguientes cambios de variable:

u=tg(x)u=tg(x)

dudx=sec2(x)⟶dx=1sec2(x)dududx=sec2⁡(x)⟶dx=1sec2⁡(x)du

Demostración de que ddx[tg(x)]=sec2(x)ddx[tg(x)]=sec2⁡(x)

Por definición,

tg(x)=sin(x)cos(x)tg(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)

Por tanto,

ddx[tg(x)]=ddx[sin(x)cos(x)]=cos(x)cos(x)−sin(x)[−sin(x)]cos2(x)=cos2(x)+sin2(x)cos2(x)=1cos2(x)=sec2(x)ddx[tg(x)]=ddx[sin⁡(x)cos⁡(x)]=cos⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)[−sin⁡(x)]cos2⁡(x)=cos2⁡(x)+sin2⁡(x)cos2⁡(x)=1cos2⁡(x)=sec2⁡(x)

Donde se ha aplicado lo siguiente adicional:

ddx[sin(x)]=cos(x)ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)

ddx[cos(x)]=−sin(x)ddx[cos⁡(x)]=−sin⁡(x)

sin2(x)+cos2(x)=cos2(x)+sin2(x)=1sin2⁡(x)+cos2⁡(x)=cos2⁡(x)+sin2⁡(x)=1

Fin de la demostración.

La integral se nos vuelve

I=∫u2⋅sec2(x)⋅1sec2(x)du=∫u2du=u33+C=tg3(x)3+CI=∫u2⋅sec2⁡(x)⋅1sec2⁡(x)du=∫u2du=u33+C=tg3(x)3+C

donde al final se ha aplicado lo siguiente adicional:

∫undu=un+1n+1+C∫undu=un+1n+1+C

hemos deshecho el cambio de variable y CC es una constante de integración.

Y finalmente, ya lo tenemos:

I=∫tg2(x)cos2(x)dx=tg3(x)3+CI=∫tg2(x)cos2⁡(x)dx=tg3(x)3+C