¿Se puede calcular el factorial de un número entero negativo, por ejemplo de -4, de esta manera: -4! =-4 x -3 x -2 x -1 = -12 x -2 = 24?

No y sí. Me explico:

No como lo planteas en la pregunta, sino de otro modo.

El factorial de un número se refiere a los números enteros naturales.

El factorial de un entero positivo n, es el factorial de n o n factorial y se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

Los números naturales, como sabes, son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto.

Aunque en una calculadora científica se pueda introducir un número negativo o fraccionario y pulsar x! (o n! según el tipo de calculadora que tengamos), la máquina siempre lo verá como un número entero positivo e ignora los signos, dando el resultado como si de un entero positivo fuera.

Por tanto -4!, siempre dará como resultado 24.

La regla es:

n! = n × (n-1)! que también conoces.

No obstante:

El factorial de cero por conveniencia es: 0! = 1.

Y el factorial de 1! = 1

Luego 1! = 0!

Cosas de las matemáticas.

También podemos calcular factoriales de 0,5 o -3,217. Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de 1/2 es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (1/2)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:

(-1/2)! = √π

(1/2)! = (1/2)√π

(3/2)! = (3/4)√π

(5/2)! = (15/8)√π

Y también cumplen la regla de que "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!
(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

En cuanto a lo de la función gamma citada arriba, sería objeto de otra respuesta más compleja.

Te sugiero eches un vistazo a tus manuales.