¿Si me dan la función x − 3/x + 2 con x ∈ R puedo decir que f ([-1,1]) es compacto?

No, f[−1,1]f[−1,1] no es compacto, y te explicaré por qué:

Hay varias formas de definir qué es un conjunto compacto[1] , pero la que usaré aquí dice:

AA es un conjunto compacto ssi para toda cubierta gg de AA existe otra cubierta finita qq de AA tal que q⊆gq⊆g.

Aquí, cuando digo que gg es una cubierta de AA me estoy refiriendo a que A⊆⋃gA⊆⋃g, donde gg es una familia de conjuntos abiertos GαGα. Ya hablé en otra respuesta sobre qué es un conjunto abierto[2] pero para simplificarnos, en RR un tipo de conjunto abierto son los intervalos (a,b)(a,b), sin los extremos.

Así que, para decidir si f[−1,1]f[−1,1] es compacto, primero debemos saber qué conjunto es…

Para empezar, la función que tienes ahí ni siquiera está definida en 00, así que podríamos decir eso y lavarnos las manos, ahí se terminaría la respuesta… Pero supongamos que en lugar de ser la función para cualquier x∈Rx∈R, solo sea la función para x∈R∖{0}x∈R∖{0}, entonces debemos continuar…

Para saber qué números reales nn pertenecen al conjunto f[−1,1]f[−1,1] debemos saber cuales cumplen que:

x−3x+2=nx−3x+2=n, para algún x≠0x≠0

x2−3+2x=nxx2−3+2x=nx

x2+2x−nx−3=0x2+2x−nx−3=0

x2+(2−n)x−3=0x2+(2−n)x−3=0

Usando la querida fórmula cuadrática:

x1,2=−(2−n)±(2−n)2−4(1)(−3)−−−−−−−−−−−−−−−−√2x1,2=−(2−n)±(2−n)2−4(1)(−3)2

x1,2=n−2±4−4n+n2+12−−−−−−−−−−−−−√2x1,2=n−2±4−4n+n2+122

Aquí lo que nos interesa, es que lo que está dentro de la raíz cuadrada sea positivo (o cero), lo que significa que:

4−4n+n2+12≥04−4n+n2+12≥0

Ya me dio pereza resolver cuánto debe valer nn para que esta desigualdad se cumpla, pero ayudándonos de una gráfica:

Nos ayuda a verificar que esa cosa siempre es positiva para todo nn, lo que significa que para todo nn, siempre existen x1,2x1,2 tales que f(x)=nf(x)=n. O en otras palabras, que la función ff es sobreyectiva, pero nosotros no queremos f[R∖{0}]f[R∖{0}], solo queremos f[−1,1]f[−1,1], como no quiero perder más tiempo (ni siquiera hemos empezado a responder la pregunta) aquí lo tienes:

La línea verde es la función ff, la franja azul nos ayuda a notar qué parte de la línea cae en el intervalo [−1,1][−1,1], como puedes ver, la función está definida en todos los reales que son mayores o iguales a 44 y en todos los reales que son menores o iguales a 00, lo que significa que f[−1,1]=(−∞,0]∪[4,∞)f[−1,1]=(−∞,0]∪[4,∞), el hecho de que no esté acotada nos ayudará luego…

Por fin, ahora si, ¿Qué era que un conjunto fuera compacto? La cosa esa de la cubierta gg y no se qué más… Agarremos una cubierta gg:

Definimos Gn:=(3,5+n)Gn:=(3,5+n) para todo n∈Nn∈N (consideraré al 00 un número natural), puedes comprobar por tu cuenta que {Gn}n∈N{Gn}n∈N es una cubierta de [4,∞)[4,∞):

Las franjas rojas son G0,G1,G2,G3G0,G1,G2,G3, nota como el trozo de línea verde que está en la franja azul también está en alguna de las franjas rojas, a esto me refiero cuando digo que f[−1,1]⊆⋃{Gn}n∈Nf[−1,1]⊆⋃{Gn}n∈N, en términos simples, el conjunto g={Gn}n∈Ng={Gn}n∈N es una cubierta del conjunto f[−1,1]f[−1,1]. Solo que no es una cubierta finita, pues tiene infinitos elementos (una franja roja por cada número natural).

Lo que tenemos que ver es que para esta cubierta nunca podrá existir una cubierta finita de f[−1,1]f[−1,1] contenida en gg, o en otras palabras, que si en lugar de agarrar las infinitas franjas rojas de gg, agarras una cantidad finita, entonces siempre habrá un trozo de línea (al menos un punto de f[−1,1]f[−1,1]) que no esté en tu grupo finito de franjas rojas…

Agarremos q⊆g={Gn}n∈Nq⊆g={Gn}n∈N una cantidad finita de franjas rojas. Debe existir un número natural nn tal que Gk⊆GnGk⊆Gn para todo k∈Nk∈N que cumpla que Gk∈qGk∈q, dicho en términos simples, debe existir una franja en la que todas las demás estén metidas, en la imagen de arriba por ejemplo:

G3G3 sería esa franja especial, en la que todas las demás estaban metidas.

Ahora, recordemos que Gn=(3,5+n)Gn=(3,5+n), aquí obviamente el número 6+n6+n está en f[−1,1]f[−1,1] y no está en GnGn, así que, ningún subconjunto finito de gg podrá ser un cubrimiento de [4,∞)[4,∞), lo que significa que [4,∞)[4,∞) no es compacto.

Pero recordemos que f[−1,1]≠[4,∞)f[−1,1]≠[4,∞), aún nos falta añadir el (−∞,0](−∞,0], bueno, por una razón similar (usando el cubrimiento {Qn}n∈N{Qn}n∈N donde Qn=(−n,1)Qn=(−n,1)) verás que (−∞,0](−∞,0] tampoco es compacto.

Así que, si [4,∞)[4,∞) y (−∞,0](−∞,0] no son compactos, entonces combinar ambos (lo que en matemáticas se llama "unión") tampoco será compacto… ¿No? Pues resulta que no, lo que significa que f[−1,1]=(−∞,0]∪[4,∞)f[−1,1]=(−∞,0]∪[4,∞) no es compacto.

Si quieres una guía para identificar rápidamente un conjunto compacto, básicamente es un conjunto que no se va al infinito (que tiene frontera, límites, que está acotado), por ejemplo, RR no sería compacto, tampoco ninguno de la forma (−∞,a](−∞,a] o de la forma [b,∞)[b,∞) es compacto.

Chaitou :3

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