¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial 2x^2ydx= (3x^3 + y^3) dy con método homogéneo por sustitución y llegar a la solución y^9=C (X^3 +...

Usando lo que se conoce como factor integrante para hacer la ecuación exacta.

Una ecuación diferencial

M(x,y)+N(x,y)y′=0M(x,y)+N(x,y)y′=0 (recordemos que y=y(x)y=y(x) es una función de xx)

es exacta si se da que

∂M∂y=∂N∂x∂M∂y=∂N∂x,

que es equivalente (bajo ciertas condiciones en las que no entraremos porque se suelen cumplir siempre) a que exista una función F(x,y)F(x,y) tal que

∂F∂x=M∂F∂x=M y ∂F∂y=N∂F∂y=N.

En ese caso tenemos que

dF(x,y(x))dx=∂F∂x+∂F∂yy′=M+Ny′=0dF(x,y(x))dx=∂F∂x+∂F∂yy′=M+Ny′=0.

Por tanto F(x,y)=CF(x,y)=C con C∈RC∈R son todas las soluciones a la ecuación diferencial (ya que la derivada de una función es nula si y sólo si la función es una constante).

Sabiendo esto lo que necesitamos es encontrar nuestra función FF, que podemos obtener de dos maneras (muy similares):

1. Decimos que
   F(x,y)=∫Mdx+g(y)F(x,y)=∫Mdx+g(y),
   donde g(y)g(y) es una función desconocida, y una vez que hayamos integrado MM tomamos
   ∂F∂y=∂∂y(∫Mdx)+g′(y)∂F∂y=∂∂y(∫Mdx)+g′(y)
   e imponemos que sea igual a NN, resolviendo para
   g(y)=∫g′(y)dy=∫Ndy+∫(∂∂y(∫Mdx))dyg(y)=∫g′(y)dy=∫Ndy+∫(∂∂y(∫Mdx))dy.
   Una vez hemos obtenido g(y)g(y) ya conocemos FF.
2. Decimos que
   F(x,y)=∫Ndy+h(x)F(x,y)=∫Ndy+h(x),
   donde h(x)h(x) es una función desconocida, y una vez que hayamos integrado NN tomamos
   ∂F∂x=∂∂x(∫Ndy)+h′(x)∂F∂x=∂∂x(∫Ndy)+h′(x)
   e imponemos que sea igual a MM, resolviendo para
   h(x)=∫h′(x)dx=∫Mdx+∫(∂∂x(∫Ndy))dxh(x)=∫h′(x)dx=∫Mdx+∫(∂∂x(∫Ndy))dx.
   Una vez hemos obtenido h(x)h(x) ya conocemos FF.

Cuando la ecuación diferencial no es exacta podemos intentar manipularla para convertirla en exacta usando una función μ(x,y)μ(x,y) (que llamamos factor integrante) tal que

μ(x,y)M(x,y)+μ(x,y)N(x,y)y′=0μ(x,y)M(x,y)+μ(x,y)N(x,y)y′=0 sí lo sea.

Lo bueno es que estas dos ecuaciones tienen las mismas soluciones, por lo que si encontramos tal μ(x,y)μ(x,y) podemos resolver la segunda ecuación como describimos antes para obtener las soluciones de la primera.

¿Cómo encontrar μ(x,y)μ(x,y)? Pues lo malo es que no hay un método general para buscarla. Lo que sí hay es una manera general para comprobar si los candidatos que se te ocurran son buenos. Pero aún mejor, también hay algunos casos frecuentes que son fáciles de comprobar y calcular, como que la función sólo dependa de xx o de yy, o que dependa de alguna combinación del tipo x+yx+y o x2+y2x2+y2.

En este caso vamos a comprobar que podemos usar un factor integrante que sólo depende de yy; por lo que será de la forma μ(y)μ(y).

Para comprobar que se puede debemos ver si la expresión

∂N∂x−∂M∂yM∂N∂x−∂M∂yM

sólo depende de la variable yy, en cuyo caso

μ(y)=e∫∂N∂x−∂M∂yMdyμ(y)=e∫∂N∂x−∂M∂yMdy.

Para tu ejercicio:

M(x,y)=−2x2yM(x,y)=−2x2y,

N(x,y)=3x3+y3N(x,y)=3x3+y3.

Entonces

∂M∂y=−2x2∂M∂y=−2x2,

∂N∂x=9x2∂N∂x=9x2.

Y en consecuencia

∂N∂x−∂M∂yM=9x2−(−2x2)2x2y=−112y∂N∂x−∂M∂yM=9x2−(−2x2)2x2y=−112y

sólo depende de yy.

El factor integrante es por tanto

μ(y)=e∫∂N∂x−∂M∂yMdy=e∫−1121ydy=e−112log(y)=(elog(y))−112=y−112μ(y)=e∫∂N∂x−∂M∂yMdy=e∫−1121ydy=e−112log⁡(y)=(elog⁡(y))−112=y−112.

Multiplicándolo en tu ecuación diferencial queda

−2x2y−92+y−112(3x3+y3)y′=0−2x2y−92+y−112(3x3+y3)y′=0

(que puedes comprobar que es exacta).

Entonces

F(x,y)=∫μMdx+g(y)=∫−2x2y−92dx+g(y)=−23x3y−92+g(y)F(x,y)=∫μMdx+g(y)=∫−2x2y−92dx+g(y)=−23x3y−92+g(y).

Imponemos ∂F(x,y)∂y=μN(x,y)∂F(x,y)∂y=μN(x,y), que es

3x3y−112+g′(y)=y−112(3x3+y3)⇒3x3y−112+g′(y)=y−112(3x3+y3)⇒

g′(y)=3x3y−112+y−52−3x3y−112=y−52g′(y)=3x3y−112+y−52−3x3y−112=y−52.

Integrando respecto a yy obtenemos

g(y)=−23y−32g(y)=−23y−32.

Por tanto

F(x,y)=−23x3y−92−23y−32F(x,y)=−23x3y−92−23y−32.

Por tanto la solución general de la ecuación diferencial es

−23x3y−92−23y−32=C−23x3y−92−23y−32=C, C∈RC∈R.

Como C∈RC∈R, si multiplicamos todo por −32−32, a la derecha nos quedaría −32C−32C, que siguen siendo todos los números reales, por lo que podemos renombrar esto último como CC de nuevo (con C∈RC∈R también de nuevo, claro).

Ahora tenemos que la solución general de la ecuación diferencial es

x3y−92+y−32=Cx3y−92+y−32=C, C∈RC∈R.

Sacando factor común

y−92(x3+y3)=Cy−92(x3+y3)=C, C∈R⇒C∈R⇒

x3+y3=Cy92x3+y3=Cy92, C∈RC∈R.

Así está bien la respuesta, pues si elevas al cuadrado para dejar una expresión más bonita vas a generar algunas soluciones que en realidad no estaban (como cuando tienes a=2a=2 y al elevar al cuadrado, a2=4a2=4, acabas con a=−2a=−2 como posible solución). Y por otra parte estarías renombrando C2C2 como CC, por lo que CC no podría ser negativa.

Además si pasas la CC al otro lado de la igualdad como está en tu respuesta, que te queda como 1C1C, y renombras a 1C1C como CC, estás excluyendo la posibilidad de que tu nueva CC sea 00, ya que para ello la antigua CC, la que estaba como 1C1C, tendría que ser ∞∞. Esto provoca que pierdas la solución C=0C=0, que antes de hacer ese paso se correspondería con y=−xy=−x.

Pero la verdad es que normalmente no nos preocupan demasiado esas cosas. Sólo ten en cuenta que si después de manipular la solución general quieres buscar una particular, tienes que pensar en cómo pudieron afectarle esas manipulaciones. Como recordar que y=−xy=−x no va a aparecer si es la que buscas; o que vas a tener que elegir entre dos soluciones distintas por elevar al cuadrado, y sólo una es correcta y verifica la ecuación diferencial (la otra no la verifica por el signo).

Dicho esto, terminemos de dejar la solución general bonita. Primero elevamos al cuadrado y renombramos CC, lo que nos deja

(x3+y3)2=Cy9(x3+y3)2=Cy9, C∈R+∪{0}C∈R+∪{0}.

Por último pasamos la CC al otro lado y la renombramos de nuevo,

y=−xy=−x, y9=C(x3+y3)2y9=C(x3+y3)2, C∈R+C∈R+.