¿Alguien puede ayudarme a encontrar los puntos críticos relativos y puntos de inflexión, de esta tremenda función: X/√1–4x^2?

Tenemos la función

f(x)=x1−4x2−−−−−−√.f(x)=x1−4x2.

Si es una función real de variable real, entonces

1−4x2−−−−−−√>0.1−4x2>0.

Elevando al cuadrado ambos lados de la desigualdad:

1−4x2>0.1−4x2>0.

Factorizando 1−4x2:1−4x2:

(1+2x)(1−2x)>0.(1+2x)(1−2x)>0.

Esto quiere decir que, o bien

1+2x>0,1+2x>0,

o bien

1−2x>0.1−2x>0.

Si en la primera condición restamos 11 y luego dividimos con 22 a ambos lados de la desigualdad, obtenemos que

x>−12.x>−12.

En la segunda condición, si sumamos 2x2x y luego dividimos con 22 a ambos lados de la desigualdad, obtenemos que

12>x⇔x<12.12>x⇔x<12.

i.e., que

−12<x<12.−12

En otras palabras, el dominio de la función es

Dom f(x)=x∈R:−12<x<12.Dom f(x)=x∈R:−12

Para saber si la función tiene puntos críticos relativos o no, hay que ver si existen valores para xx tal que la derivada de f(x),f(x), f′(x),f′(x), valga 0.0. Si existen, entonces esos son los puntos críticos relativos de f(x).f(x). Si no existen, entonces f(x)f(x) no tiene puntos críticos relativos.

La derivada de f(x)f(x) es la siguiente:

f′(x)=1⋅1−4x2−−−−−−√−x⋅121−4x2√⋅(−8x)1−4x2=1−4x2−−−−−−√+4x21−4x2√1−4x2=1−4x2+4x21−4x2√1−4x2=11−4x2√1−4x2=11−4x2−−−−−−√⋅(1−4x2)=1(1−4x2)3−−−−−−−−√=1(1−4x2)3/2.f′(x)=1⋅1−4x2−x⋅121−4x2⋅(−8x)1−4x2=1−4x2+4x21−4x21−4x2=1−4x2+4x21−4x21−4x2=11−4x21−4x2=11−4x2⋅(1−4x2)=1(1−4x2)3=1(1−4x2)3/2.

f′(x)f′(x) no puede valer 00 para ningún valor de x,x, por lo que no contiene ningún punto crítico relativo. Pero puede contener puntos de inflexión.

Gráfico de f′(x)f′(x) desde −12−12 hasta 12.12. Imagen: WolframAlpha. "graph f(x) = 1/((1 - 4x^2)^(3/2)) from (-1/2) to (1/2)".

Para saber si tiene puntos de inflexión o no, lo primero que debemos hacer es calcular la segunda derivada de f(x),f(x), f′′(x),f″(x), que es también la derivada de f′(x).f′(x). Para ello, reescribimos a f′(x)f′(x) como

f′(x)=(1−4x2)−3/2f′(x)=(1−4x2)−3/2

y la derivamos:

f′′(x)=−32⋅(1−4x2)−3/2−1⋅(−8x)=−32⋅(1−4x2)−5/2⋅(−8x)=12x(1−4x2)5/2.f″(x)=−32⋅(1−4x2)−3/2−1⋅(−8x)=−32⋅(1−4x2)−5/2⋅(−8x)=12x(1−4x2)5/2.

Ahora que conocemos a f′′(x),f″(x), debemos saber para qué valores de xx vale 0.0.

f′′(x)f″(x) solo puede valer 00 para x=0.x=0. Si x=0x=0 es un punto de inflexión, entonces dado un valor x<0x<0 dentro del dominio de f(x)f(x) y dado otro valor x>0x>0 dentro del mismo dominio, se debe cumplir que f′′(x<0)<0f″(x<0)<0 y que f′′(x>0)>0.f″(x>0)>0. Digamos que x1=−14x1=−14 y que x2=14.x2=14. Ambos valores están dentro del dominio de f(x).f(x). Entonces

f′′(−14)=12⋅(−14)(1−4⋅(−14)2)5/2=−3(1−4⋅116)5/2=−3(1−14)5/2=−3(34)5/2<0f″(−14)=12⋅(−14)(1−4⋅(−14)2)5/2=−3(1−4⋅116)5/2=−3(1−14)5/2=−3(34)5/2<0

y

f′′(14)=12⋅(14)(1−4⋅(14)2)5/2=3(1−4⋅116)5/2=3(1−14)5/2=3(34)5/2>0.f″(14)=12⋅(14)(1−4⋅(14)2)5/2=3(1−4⋅116)5/2=3(1−14)5/2=3(34)5/2>0.

Por tanto, x=0x=0 es un punto de inflexión.

Gráfico de f′′(x)f″(x) desde −12−12 hasta 12.12. Imagen: WolframAlpha. "graph f(x) = (12x)/((1 - 4x^2)^(5/2)) from (-1/2) to (1/2)".

Resumiendo, f(x)f(x) carece de puntos críticos relativos, pero contiene un punto de inflexión, que es x=0.x=0.

Gráfico de f(x)f(x) desde −12−12 hasta 12.12. Imagen: WolframAlpha. "graph f(x) = x/((1 - 4x^2)^(1/2)) from (-1/2) to (1/2)".