¿Alguien me puede ayudar con la solución de esta ecuación: 1/x + ye^xy) dx + (1/y + xe^xy) dy=0 para y(1/2)=2?

La ecuación diferencial es:

(1/y+x⋅exy)⋅dy+(1/x+y⋅exy)⋅dx=0(1/y+x·exy)·dy+(1/x+y·exy)·dx=0

Sumando las fracciones, con denominador común:

(1+x⋅y⋅exy)/y⋅dy+(1+x⋅y⋅exy)/x⋅dx=0(1+x·y·exy)/y·dy+(1+x·y·exy)/x·dx=0

Vemos que hay un factor común… el cual si nunca es cero tendrá inverso multiplicativo y podremos multiplicar por él toda la ecuación, sin perder ninguna solución
Nota: no sería matemáticamente correcto eliminar ese factor por las buenas y continuar como si nada hubiese pasado.

Si llamamos z = x·y …
Analicemos la función
f(z)=1+z⋅ezf(z)=1+z·ez

¿Puede ser cero?
Veamos el mínimo:

Derivando respecto a z:
f′(z)=ez+z⋅ezf′(z)=ez+z·ez

ez+z⋅ez=0ez+z·ez=0

ez⋅(1+z)=0ez·(1+z)=0

Aquí el factor común ezez nunca se anula.

1+z=01+z=0

→ z = -1

Podríamos hacer la segunda derivada para ver que es un mínimo.

f′′(z)=ez+f′(z)=2⋅ez+z⋅ezf″(z)=ez+f′(z)=2·ez+z·ez

f′′(−1)=2/e−1/e=1/e>0f″(−1)=2/e−1/e=1/e>0

Eso significa que f'(z) crece en el punto z=-1
La pendiente crece, y, por tanto, es un mínimo.

El valor de f en el mínimo es:

f(-1) = 1 – 1/e > 0

Entonces, el mínimo absoluto es mayor que 0 y nunca se anula.

Nota: con lo anterior queda claro que f(z) = 0 no tiene solución para z real.
Pero si fuese f(z)=K+z⋅ezf(z)=K+z·ez se resolvería con una función llamada W de Lambert. z = W(-K)

Esto no es necesario saberlo para este problema, pero no es malo saberlo por culturilla matemática.
En realidad si K fuese positivo entre 0 y 1/e entonces habría dos soluciones
z1 = W0(-K) y z2 = W1(-K)
Y eso daría dos soluciones más a la ecuación diferencial… aunque en este caso no cumplirían la condición de contorno y(1/2) = 2
Ya que tanto W0 como W1 son negativas para valores negativos.

Volvamos a la ecuación:

(1+x⋅y⋅exy)/y⋅dy+(1+y⋅x⋅exy)/x⋅dx=0(1+x·y·exy)/y·dy+(1+y·x·exy)/x·dx=0

Como hemos visto que el factor común nunca se anula, entonces siempre tiene inverso, para cualquier par de valores (x, y) y multiplicamos toda la ecuación por ese inverso, quedando:

1/y⋅dy+1/x⋅dx=01/y·dy+1/x·dx=0

Nótese que si se hubiese eliminado directamente el factor común sin verificar si puede ser cero habríamos llegado igualmente a esta expresión, y habríamos llegado a la misma solución del problema. Pero no todo vale en matemáticas… Si llegas a una solución con "trampas" o razonamientos incorrectos entonces se podría decir que la resolución no es del todo correcta.

Sumando el opuesto de 1/x · dz a ambos lados:

1/y⋅dy=−1/x⋅dx1/y·dy=−1/x·dx

Y ahora, con las variables separadas, se integrarían ambos lados.
Pero esa integral tiene dos casos, para valores positivos y para valores negativos.
Aunque como la condición de contorno y(1/2)=2 es un punto (1/2, 2) con "x" positivo y con "y" positivo entonces tomamos en ambos casos la solución para valores positivos.

y > 0 → ∫(1/y)⋅dy=Ln(y)+C1∫(1/y)·dy=Ln(y)+C1

x > 0 → ∫(1/x)⋅dx=Ln(x)+C2∫(1/x)·dx=Ln(x)+C2

[Nota: para valores negativos habría sido -Ln(-x) + C ]

Ln(y)+C1=−Ln(x)+C2Ln(y)+C1=−Ln(x)+C2

Ln(y)=K−Ln(x)Ln(y)=K−Ln(x)

Aplicando la condición de contorno:
si x = 1/2 entonces y = 2

Ln(2)=K−Ln(1/2)=K+Ln(2)Ln(2)=K−Ln(1/2)=K+Ln(2)

Entonces: K=0K=0

Ln(y)=−Ln(x)Ln(y)=−Ln(x)

eLn(y)=e−Ln(x)eLn(y)=e−Ln(x)

y = 1/x

Para x>0 e y>0

Verificación:

Verificamos que se cumple la condición de contorno:
y(1/2) = 1/(1/2) = 2

También podemos verificar que esa función cumple la ecuación diferencial.

(1/y+x⋅exy)⋅dy+(1/x+y⋅exy)⋅dx=0(1/y+x·exy)·dy+(1/x+y·exy)·dx=0

(x+x⋅e)⋅dy+(1/x)⋅(1+e)⋅dx=0(x+x·e)·dy+(1/x)·(1+e)·dx=0

Dividiendo por (1+e), que no es cero:

x⋅dy+(1/x)⋅dx=0x·dy+(1/x)·dx=0

dy/dx=−(1/x2)⋅dxdy/dx=−(1/x2)·dx

Efectivamente, la derivada de y respecto a x es esa.

Estas últimas comprobaciones no son absolutamente necesarias, pero muchas veces "te pueden salvar la vida" ya que en caso de haber cometido algún error, esto te permitiría detectarlo… y revisar lo que hiciste.
Si vas con prisas (ej: en un examen) y conoces un poco la soltura que tienes o la probabilidad de cometer errores, quizá te interese más hacer otro problema y dejar las comprobaciones para el final, cuando hayas acabado todo. Pero si no estás con prisas, es muy recomendable detenerse a comprobar que efectivamente lo que das como solución cumple las condiciones que te pedían y es muy importante encontrar tus propios errores, apuntar dónde te equivocaste y practicar esos puntos concretos en los que te equivocaste, para que no vuelva a ocurrir.