¿Cómo explicar el concepto de una integral a alguien que no conoce lo que es una función matemática?

En el cálculo "tradicional" (el que se enseña usando límites) se llama "integral" a dos objetos de naturaleza distinta. Una es la "integral indefinida", que más correctamente debe ser llamada "antiderivada". Su definición es básicamente una función F tal que su derivada F' = f es conocida. Por ejemplo, la antiderivada de y = 2x es: Y = x^2 + C, donde C es una constante.

La otra es la "integral definida", que más correctamente debe ser llamada "integral" (sin el adjetivo "definida"). A continuación explico por qué el nombre correcto no requiere del adjetivo.

La "integral definida" encapsula el proceso de calcular alguna cualidad de un todo. La cualidad podría ser masa, volumen, longitud, área superficial, momento de inercia, fuerza hidrostática, etc. Hay algo que está cambiando y no te permite calcularlo. Si eso que está cambiando fuera constante, entonces sí podrías calcularlo directamente. Por ejemplo, si la densidad de un sólido no es constante, no puedes usar la fórmula de masa = densidad * volumen. Solamente funciona cuando la densidad es constante. Así que para calcular la masa de un objeto de densidad variable, usas la "integral definida".

La idea de la "integral definida" es que quieres calcular una cualidad, digamos masa de un cable cuya densidad cambia conforme avanzas a lo largo del cable de un extremo (a la izquierda) moviéndote hacia la derecha. Tú conoces una fórmula que te dice cuál es la densidad en cada punto (x) del cable: rho = rho(x). Entonces, la idea es dividir el cable apropiadamente. Aquí "apropiadamente" significa de manera que en cada parte puedas calcular lo que quieres calcular del todo (en este ejemplo, la masa). Y la forma de dividir el cable es observar que la densidad cambia con la posición a lo largo del cable, así que decides dividir el cable en una cantidad infinitamente grande de partes, de manera que en cada parte la densidad permanezca constante. De esta manera podrás calcular la masa de cada partecita usando la fórmula de masa = densidad [lineal] * longitud. Sumas la masa de cada una de las partes y el resultado es la masa de todo el cable. Entonces, si dmdm representa la masa de una de esas partes infinitamente pequeñas en que dividiste el cable, ρ(x)ρ(x) es la densidad de esa parte genérica en su extremo izquierdo y dLdL es su longitud, la suma de todas las partes, desde el extremo izquierdo (donde x=0x=0 hasta el extremo derecho (donde x=Lx=L), es:

∫0Lρ(x)⋅dL∫0Lρ(x)⋅dL

El símbolo ∫∫ es una "s" alargada que representa la palabra "suma" y es por eso precisamente que la integral no requiere del adjetivo "definida". El proceso que se encapsula en este símbolo matemático es el de dividir a un todo (el cable en el ejemplo) en una cantidad infinita de partes, calcular para una parte genérica lo que quieres calcular del todo (la masa en el ejemplo dado) y sumar todas las partes para obtener la cualidad del todo. Así obtienes el todo "íntegro", pues no le falta alguna de sus partes. Por eso Leibniz le dio el nombre de "integral" a esta idea matemática.

Entonces, regresando a la idea inicial: suponiendo que quieres explicar la integral ["definida"], yo lo explicaría como sigue:

Imagina que quieres calcular el volumen de una sandía, pero no tienes la fórmula para calcular el volumen de la sandía. Pues la puedes dividir en rebanadas que sean perpendiculares al eje más largo de la sandía y calculas el volumen de cada rebanada usando la fórmula para calcular el volumen de un cono truncado, porque cada rebanada parece un cono truncado. La suma de los volúmenes de todas las rebanadas será el volumen de la sandía.

Esa es la idea de la integral: tienes un todo al que le quieres calcular algo, pero para poder calcularlo, primero divides al todo de manera que puedas calcular en cada parte eso que quieres calcular del todo, y sumas todas las partes.

Esa es la idea de la integral [definida] en cálculo.

Regresando a la explicación, si lo que quieres explicar es la antiderivada (o integral indefinida, como la llaman los libros tradicionales de cálculo), entonces será una misión imposible, porque se calculan antiderivadas de funciones. Si vas a explicar a alguien que no conoce ni mucho menos entiende la idea de función, pues es como querer construir un castillo sobre una nube.

Escribí un libro con este enfoque de las ideas del cálculo, más enfatizando la idea basado en cómo se construyó por quienes crearon el cálculo (Leibniz, Newton, Fermat, los hermanos Bernoulli, Cavalieri, Isaac Barrow, etc.) y muchas de las justificaciones que doy en el libro son simplemente las explicaciones que estos personajes dieron de sus resultados, pero para facilitar el entendimiento al lector, uso notación actual. Quizás convenga leerlo. El libro es de acceso libre: no se requiere comprarlo para poder leer todos sus contenidos. No se puede descargar, a menos que lo compres, pero lo puedes leer en línea.

Espero que esta explicación te ayude.