El delta de Kronecker es un tensor tipo (1,1). Es decir 1° índice contravariante y 2° índice covariante. ¿Puede ser definido como 1° índice...

Esta pregunta lleva un buen tiempo aquí en Quora. Para contestar esto, partamos de la la definición del delta de Kronecker como un tensor mixto de 2° orden.

Delta de Kronecker: Se representa mediante δijδji y se define como:

δij={01sii≠jsii=jδji={0sii≠j1sii=j

Entonces el delta de Kronecker es un tensor mixto de segundo orden. Es un tensor mixto porque un índice representa las componentes contravariantes y el otro índice representa las componentes covariantes. Sin embargo en muchas aplicaciones prácticas en Física e Ingeniería se pasa por alto su carácter tensorial usando la notación simplificada δijδij y solo se usa para indicar la ortogonalidad de las cantidades involucradas, pudiendo ser estas funciones, matrices, conjunto de funciones etc.

El vector posición en un sistema de coordenadas curvilíneas (x1,x2,….xn)(x1,x2,….xn) se representa como:

r⃗ =x1e⃗ 1+x2e⃗ 2+…….+xne⃗ nr→=x1e→1+x2e→2+…….+xne→n

O también:

r⃗ =∑i=1nxie⃗ ir→=∑i=1nxie→i

Usando la convención de Einstein:

r⃗ =xie⃗ ir→=xie→i

De igual modo ocurre con el diferencial de vector posición:

dr⃗ =dx1e⃗ 1+dx2e⃗ 2+……+dxne⃗ ndr→=dx1e→1+dx2e→2+……+dxne→n

dr⃗ =∑i=1ndxie⃗ idr→=∑i=1ndxie→i

Usando la convención de Einstein:

dr⃗ =dxie⃗ idr→=dxie→i

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Tenemos un sistema de coordenadas en donde cada una de las coordenadas son linealmente independientes entre si.

Entonces de acuerdo a esto. Para representar la siguiente derivada:

∑k=1n∂xi∂xk∂xk∂xj=∂xi∂xj∑k=1n∂xi∂xk∂xk∂xj=∂xi∂xj

Podemos usar la convención de índices de Einstein, y simplemente se representa así.

∂xi∂xk∂xk∂xj=∂xi∂xj∂xi∂xk∂xk∂xj=∂xi∂xj

De igual forma:

∑i=1n∂x¯α∂xi∂xi∂x¯β=∂x¯α∂x¯β∑i=1n∂x¯α∂xi∂xi∂x¯β=∂x¯α∂x¯β

Usando la convención de índices repetidos de Einstein.

∂x¯α∂xi∂xi∂x¯β=∂x¯α∂x¯β∂x¯α∂xi∂xi∂x¯β=∂x¯α∂x¯β

Para un mismo sistema de coordenadas se cumple:

∂xi∂xj=δij∂xi∂xj=δji

Pero el delta de Kronecker, puede representarse también como: δij=δijδji=δji

Si i=ji=j , ∂xi∂xj=1∂xi∂xj=1 ya que xi=xjxi=xj

Si i≠ji≠j , ∂xi∂xj=0∂xi∂xj=0 ya que xixi y xjxj son coordenadas independientes.

De igual modo:

∂xi∂xk∂xk∂xj=∂xi∂xj=δij∂xi∂xk∂xk∂xj=∂xi∂xj=δji

O también:

∂x¯α∂xi∂xi∂x¯β=∂x¯α∂x¯β=δ¯αβ∂x¯α∂xi∂xi∂x¯β=∂x¯α∂x¯β=δ¯βα

Ahora para contestar la pregunta debemos saber como se transforma un tensor mixto de 2° orden. Se trabajará con el desarrollo de las transformaciones empezando por la derecha y finalizando en la izquierda.

Entonces veamos algunos ejemplos de como se transforman algunos tipos de tensores mixtos de 2° orden:

La fórmula para transformar un tensor mixto de 2 orden ( primer índice contravariante y segundo índice covariante ) de un sistema a otro es:

A¯αβ=∑i=1n∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAijA¯βα=∑i=1n∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAji

Donde: α,βα,β =1, 2, 3 , …. , n.

Por ejemplo el caso particular de transformar las coordenadas de un campo tensorial mixto ( primer índice contravariante y segundo índice covariante ) de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas.

Recordar que para efectuar la transformación podemos usar vectores fila o vectores columna. Por ejemplo aquí los vectores fila son: [AixAiyAiz][AxiAyiAzi] para cada valor de ii correspondientes a las coordenadas 'x' , 'y' , 'z'.

⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂r∂x∂θ∂x∂ϕ∂x∂r∂y∂θ∂y∂ϕ∂y∂r∂z∂θ∂z∂ϕ∂z⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢AxxAyxAzxAxyAyyAzyAxzAyzAzz⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂x∂r∂y∂r∂z∂r∂x∂θ∂y∂θ∂z∂θ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z∂ϕ⎤⎦⎥⎥⎥⎥[∂r∂x∂r∂y∂r∂z∂θ∂x∂θ∂y∂θ∂z∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z][AxxAyxAzxAxyAyyAzyAxzAyzAzz][∂x∂r∂x∂θ∂x∂ϕ∂y∂r∂y∂θ∂y∂ϕ∂z∂r∂z∂θ∂z∂ϕ]

El resultado parcial de los 2 últimos arreglos

⎡⎣⎢⎢AxrAyrAzrAxθAyθAzθAxϕAyϕAzϕ⎤⎦⎥⎥β=rβ=θβ=ϕ=⎡⎣⎢AxxAyxAzxAxyAyyAzyAxzAyzAzz⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂x∂r∂y∂r∂z∂r∂x∂θ∂y∂θ∂z∂θ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z∂ϕ⎤⎦⎥⎥⎥⎥β=rβ=θβ=ϕ[ArxAθxAϕxAryAθyAϕyArzAθzAϕz]⏟β=rβ=θβ=ϕ=[AxxAyxAzxAxyAyyAzyAxzAyzAzz][∂x∂r∂x∂θ∂x∂ϕ∂y∂r∂y∂θ∂y∂ϕ∂z∂r∂z∂θ∂z∂ϕ]⏟β=rβ=θβ=ϕ

Multiplicando lo obtenido por el arreglo matricial que está adelante:

⎡⎣⎢⎢⎢ArrAθrAϕrArθAθθAϕθArϕAθϕAϕϕ⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂r∂x∂θ∂x∂ϕ∂x∂r∂y∂θ∂y∂ϕ∂y∂r∂z∂θ∂z∂ϕ∂z⎤⎦⎥⎥⎥⎥i=xi=yi=z⎡⎣⎢⎢AxrAyrAzrAxθAyθAzθAxϕAyϕAzϕ⎤⎦⎥⎥β=rβ=θβ=ϕ[ArrAθrAϕrArθAθθAϕθArϕAθϕAϕϕ]=[∂r∂x∂r∂y∂r∂z∂θ∂x∂θ∂y∂θ∂z∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z]⏟i=xi=yi=z[ArxAθxAϕxAryAθyAϕyArzAθzAϕz]⏟β=rβ=θβ=ϕ

En el caso mas general, se va a usar la definición de la transformación de un tensor mixto de segundo orden contravariante en el primer índice y covariante en el segundo índice, para el caso de un sistema de coordenadas tridimensionales

1a) A¯αβ=∑i=13∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAijA¯βα=∑i=13∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAji

Donde: α,βα,β =1, 2, 3.

Desarrollando en forma matricial:

⎡⎣⎢⎢⎢∂x¯1∂x1∂x¯2∂x1∂x¯3∂x1∂x¯1∂x2∂x¯2∂x2∂x¯3∂x2∂x¯1∂x3∂x¯2∂x3∂x¯3∂x3⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢A11A21A31A12A22A32A13A23A33⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂x1∂x¯1∂x2∂x¯1∂x3∂x¯1∂x1∂x¯2∂x2∂x¯2∂x3∂x¯2∂x1∂x¯3∂x2∂x¯3∂x3∂x¯3⎤⎦⎥⎥⎥⎥[∂x¯1∂x1∂x¯1∂x2∂x¯1∂x3∂x¯2∂x1∂x¯2∂x2∂x¯2∂x3∂x¯3∂x1∂x¯3∂x2∂x¯3∂x3][A11A21A31A12A22A32A13A23A33][∂x1∂x¯1∂x1∂x¯2∂x1∂x¯3∂x2∂x¯1∂x2∂x¯2∂x2∂x¯3∂x3∂x¯1∂x3∂x¯2∂x3∂x¯3]

El resultado es:

⎡⎣⎢⎢⎢A¯11A¯21A¯31A¯12A¯22A¯32A¯13A¯23A¯33⎤⎦⎥⎥⎥[A¯11A¯21A¯31A¯12A¯22A¯32A¯13A¯23A¯33]

Teniendo en cuenta la notación para los índices repetidos, la expresión anterior que está en el apartado 1a ) se escribe como:

A¯αβ=∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAijA¯βα=∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAji

1b) Haciendo lo anterior, de acuerdo con el convenio de índices repetidos de Einstein.

?=∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAij?=∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAji

∂x¯α∂xiAij∂xj∂x¯βAiβ∂x¯α∂xiAji∂xj∂x¯β⏟Aβi

Luego:

A¯αβ=∂x¯α∂xiAiβA¯βα=∂x¯α∂xiAβi

Entonces:

A¯αβ=∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAijA¯βα=∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βAji

Aplicando lo anterior al delta de Kronecker.

δ¯αβ=∑i=1n∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βδijδ¯βα=∑i=1n∂x¯α∂xi∂xj∂x¯βδji

Donde: α,βα,β =1, 2, 3.

1c) Desarrollando en forma matricial:

⎡⎣⎢⎢⎢∂x¯1∂x1∂x¯2∂x1∂x¯3∂x1∂x¯1∂x2∂x¯2∂x2∂x¯3∂x2∂x¯1∂x3∂x¯2∂x3∂x¯3∂x3⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢δ11δ21δ31δ12δ22δ32δ13δ23δ33⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂x1∂x¯1∂x2∂x¯1∂x3∂x¯1∂x1∂x¯2∂x2∂x¯2∂x3∂x¯2∂x1∂x¯3∂x2∂x¯3∂x3∂x¯3⎤⎦⎥⎥⎥⎥[∂x¯1∂x1∂x¯1∂x2∂x¯1∂x3∂x¯2∂x1∂x¯2∂x2∂x¯2∂x3∂x¯3∂x1∂x¯3∂x2∂x¯3∂x3][δ11δ21δ31δ12δ22δ32δ13δ23δ33][∂x1∂x¯1∂x1∂x¯2∂x1∂x¯3∂x2∂x¯1∂x2∂x¯2∂x2∂x¯3∂x3∂x¯1∂x3∂x¯2∂x3∂x¯3]