, o es sólo un asunto de prueba y error?

"Métodos" infalibles y completos no existen en integración, además de que la mayoría de las integrales de funciones elementales no se pueden expresar elementalmente; pero en este caso sí que hay indicios de que puede funcionar el cambio x = tan u .

No obstante, no olvides, cada vez que veas √(x²+1) y busques un cambio de variable,

que va de maravilla el cambio hiperbólico: x = Sh t ; en efecto, puesto que

Ch² t - Sh² t = 1 → Ch t = √(Sh² t+1) ; si x = Sh t → dx = Ch t dt

en el caso presente, sea I = ∫ dx / [x² √(x²+1) ] = ∫ Ch t dt / [Sh² t Ch t ] =

= ∫ 1/Sh ² t dt = - Coth t + C ;

la última integral es inmediata, pues (Coth t)' = - Cosech² t = - 1/ Sh ² t .

Para deshacer el cambio, basta ver que Sh t = x → Ch t = √(x²+1) por lo cual,

Coth t = Ch t / Sh t = (1/x) √(x²+1), luego la integral que buscas es:

I = ∫ dx / [x² √(x²+1) ] = - (1/x) √(x²+1) + C

COMPROBACIÓN: Es inmediata, derivando

D [- (1/x) √(x²+1) + C ] = 1 / [x² √(x²+1) ], como debía ser.

Otro método alternativo, aunque muchísimo más laborioso, es considerar la integral pedida como una integral binomia (a veces no hay otra opción a mano):

I = ∫ dx / [x² √(x²+1) ] = ∫ x ⁻² (x²+1) ⁻¹/² dx

En general, la integral binomia ∫ x ᵐ (ax ⁿ+b) ᵖ dx, donde a y b son constantes y los exponentes m, n, p son números racionales de cualquier signo (positivos, negativos o nulos) se puede reducir a racional mediante el cambio de variable

x ⁿ = u , pero únicamente se logra esa reducción en cualquiera de los tres casos:

1) p entero ; como en el caso presente es p = -1/2, no se cumple esa hipótesis.

2) q = (m+1)/n entero ; en esta integral concreta, q = (-2+1)/2 = -1/2 ; tampoco se cumple la hipótesis segunda.

3) p+q entero ; en la integral propuesta es p+q = -1/2-1/2 = -1 ; sí que se cumple la tercera hipótesis, luego la integral es expresable elementalmente y se transforma en una integral racional, siguiendo el método standard, aunque con bastante trabajo.

En resumen:

Los cambios de variable hiperbólicos van bien para racionalizar √(x²+a²),

mediante el cambio x = a Sh t .

El cambio trigonométrico x = a tan u va bien para racionalizar el mismo radical

√(x²+a²), solo que a veces es más conveniente el primero, y otras veces el segundo, es cuestión de olfato, o de probar los dos y ver cuál conduce a menos cálculos.