¿(f(x),o) es un grupo?

Entiendo que quieres decir lo siguiente: Dado un conjunto XX consideramos el conjunto de funciones A={f∣f:X→X es una función}A={f∣f:X→X es una función}. Consideremos también la operación "composición de funciones" ∘∘, que toma ff y gg dos funciones y devuelve la función f∘gf∘g, que está definida como (f∘g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x)) para cada x∈Xx∈X.

¿Es (A,∘)(A,∘) un grupo?

La respuesta es no, pues la identidad debería ser la función e(x)=x∀x∈Xe(x)=x∀x∈X, y entonces dada una función ff deberíamos ser capaces de encontrar una función inversa f−1f−1 tal que f∘f−1=f−1∘f=ef∘f−1=f−1∘f=e, pero si ff no es biyectiva entonces f−1f−1 no existe.

Sin embargo podemos cambiar el anterior conjunto AA por A={f∣f:X→X es una función biyectiva}A={f∣f:X→X es una función biyectiva}, en cuyo caso (A,∘)(A,∘) sí es un grupo.

((f∘g)∘h)(x)=(f∘g)(h(x))=f(g(h(x)))=f((g∘h)(x))=(f∘(g∘h))(x)∀x∈X⇒(f∘g)∘h=f∘(g∘h)((f∘g)∘h)(x)=(f∘g)(h(x))=f(g(h(x)))=f((g∘h)(x))=(f∘(g∘h))(x)∀x∈X⇒(f∘g)∘h=f∘(g∘h), por lo que ∘∘ es asociativa.

f∘gf∘g es composición de funciones biyectiva, por lo que es una función biyetiva y por tanto f∘g∈Af∘g∈A, por lo que ∘∘ es cerrada.

(f∘e)(x)=f(e(x))=f(x)=e(f(x))=(e∘f)(x)∀x∈X(f∘e)(x)=f(e(x))=f(x)=e(f(x))=(e∘f)(x)∀x∈X, por lo que ee (mencionado antes) realmente sirve como identidad para ∘∘ (pues se tiene también que e∈Ae∈A).

Dada f∈Af∈A, como f es biyectiva, tiene inversa f−1f−1. Se tiene entonces (f∘f−1)(x)=f(f−1(x))=x=e(x)=x=f−1(f(x))=(f−1∘f)(x)∀x∈X(f∘f−1)(x)=f(f−1(x))=x=e(x)=x=f−1(f(x))=(f−1∘f)(x)∀x∈X, por lo que cada f∈Af∈A tiene un elemento inverso.

Entonces (A,∘)(A,∘) es un grupo.