¿Si y=f(x) existe siempre una f(y) =x?

Excelente pregunta. Precisamente en esto consiste el trabajo de un matemático, en hacerse preguntas nuevas sobre un objeto viejo y proceder a buscar respuestas a esas preguntas.

Como ya mencionó Ángel, lo que buscas tiene un nombre: se llama la función inversa de ff, y como ya dijeron, no siempre existe. Para darte otro ejemplo, considera la función f(persona)f(persona) que recibe una persona y despliega el nombre de esa persona. De existir, el inverso de esta función recibiría un nombre y desplegaría la persona que lleva esa nombre. El problema es claro: hay más de una persona con el mismo nombre, por lo que la función no sabría a qué persona desplegar.

Entonces tienes una respuesta a tu pregunta: la respuesta es sí existe, pero no siempre. Dada esta respuesta, no te puedes detener ahí. Tienes que continuar la cadena investigativa: si la respuesta es que a veces existe y a veces no, la próxima pregunta natural es: ¿podemos identificar exactamente cuándo es que existe?

La respuesta a esta pregunta es sí. Se han definido dos propiedades, inyectividad y suprayectividad, con las que una función puede o no cumplir. Es un teorema: una función ff tiene inversa solamente cuando cumple con ambas propiedades, inyectividad y suprayectividad. Cuando una función es tanto inyectiva como suprayectiva, se dice que es biyectiva, por lo que se puede refrasear el teorema como: una función tiene inversa si y solo si es biyectiva.

Para ver los detalles de estas propiedades, lee la siguiente respuesta: