¿Cómo resolver (x^(5)) / (y^(4)) =(1) / (2048)?

Entiendo que se trata de una ecuación diofántica, porque si solo se buscan valores reales o incluso complejos, basta asignar cualesquiera valores no nulos a una de las incógnitas y despejar la otra; por ejemplo, x⁵ = y⁴ / 2048 → x = ⁵√(y⁴ / 2048) ; por ejemplo, y = 8, x = ⁵√2 es una de tantas soluciones entre las infinitas soluciones reales que hay.

Sin embargo, si imponemos la condición suplementaria de que x, y sean enteras y positivas, este problema en concreto es bastante accesible, pero no completamente trivial.

La ecuación es equivalente a y⁴ = 2048 x⁵ ; descompongamos en factores primos x e y →

Si x = p₁^k₁ * p₂^k₂ * …* pₙ^kₙ , como 2048 = 2^11 será:

y⁴ = p₁^(5k₁) * p₂^(5k₂) * …* pₙ^(5kₙ) * 2¹¹

Puesto que el exponente 11 no es múltiplo de 4, (el exponente de y⁴ ) solo puede arreglarse o corregirse, para que sea múltiplo de 4, si admitimos que uno de los divisores primos

p₁, p₂, … pₙ debe ser 2, para ayudar a que el exponente de 2 en la descomposición de y⁴ sea múltiplo de 4. Sea por ejemplo p₁ = 2 → sustituyendo en la expresión de y⁴ :

y⁴ = 2^(5k₁) * p₂^(5k₂) * …* pₙ^(5kₙ) * 2¹¹ →

y⁴ = 2^(5k₁ + 11) * p₂^(5k₂) * …* pₙ^(5kₙ) ;

Luego debe ser 5k₁ + 11 = múlt. de 4 → 5k₁ + 11 = 4m, siendo m cierto entero positivo.

Esta es una ecuación diofántica lineal, basta conocer una solución para determinar todas ellas, como es sabido → 4m - 5k₁ = 11 .

Son tan pequeños los coeficientes que se ve a simple vista una solución, y no se requiere aplicar los métodos generales e infalibles. La ecuación es soluble en enteros puesto que sus coeficientes son primos entre sí, esto es, su MCD = 1 ; la condición general de solubilidad en enteros es que el MCD de los coeficientes de las incógnitas divida al término independiente, y obviamente 1 divide a cualquier entero.

k₁ = 1 → m = 4 ; luego la solución general es m = 4 + 5t ; k₁ = 1 + 4t, donde t es cualquier entero positivo, negativo o nulo. Pero como queremos que sean positivos k₁ y m solo sirven valores de t enteros no negativos.

Ahora, la ecuación se transforma (sustituyendo 5k₁ + 11 = 4m = 16 + 20t) en esta otra:

y⁴ = 2^(16 + 20t) * p₂^(5k₂) * …* pₙ^(5kₙ) ; ya el exponente de 2 es múltiplo de 4.

Y como necesitamos que sean múltiplos de 4 todos los demás exponentes, será necesario y suficiente que sean 5k₂ = múlt. 4 ; … 5kₙ = múlt. 4 ; como 5 y 4 son primos entre sí deben ser todos los

k₂ … kₙ múltiplos de 4 → k₂ = 4h₂ , …, kₙ = 4hₙ , siendo h₂ , …,hₙ cualesquiera enteros positivos.

Finalmente, y⁴ = 2^(16 + 20t) * p₂^(5k₂) * …* pₙ^(5kₙ) = 2^(16 + 20t) * p₂^(20h₂) * …* pₙ^(20hₙ) →

Extrayendo la raíz cuarta (positiva) de ambos miembros,

y = 2^(4 + 5t) * p₂^(5h₂) * …* pₙ^(5hₙ) → recordemos, para calcular x, que era:

x = p₁^k₁ * p₂^k₂ * …* pₙ^kₙ, con p₁ = 2, k₁ = 1 + 4t ; k₂ = 4h₂ , …, kₙ = 4hₙ →

SOLUCIÓN:

x = 2^(1 + 4t) * p₂^(4h₂) * …* pₙ^(4hₙ)

y = 2^(4 + 5t) * p₂^(5h₂) * …* pₙ^(5hₙ) ;

donde n es cualquier entero igual o mayor que 1, los p₂ , …, pₙ son n - 1 números primos cualesquiera, pero todos distintos, t toma cualquier valor entero no negativo , y las h₂ , …, hₙ son todas enteros positivos.

Por ejemplo, con n = 2, t = 1, p₂ = 7, h₂ = 1, obtenemos la solución particular

x = 2⁵ * 7⁴ = 76832.

y = 2⁹ * 7⁵ = 8 605 184.

COMPROBACIÓN:

x⁵ / y⁴ = 1/2048 → (2⁵ * 7⁴)⁵ / ( 2⁹ * 7⁵)⁴ = (2²⁵ * 7²⁰) / (2³⁶ * 7²⁰) = 2⁻¹¹ = 1/2¹¹ = 1 / 2048 .

CORRECTO.

Si elegimos n = 1, no habrá primos p₂ , …, pₙ , y x será potencia de 2 ; así aparece la solución mínima en enteros positivos, con t = 0, de modo que

x = 2¹ = 2 ; y = 2⁴ = 16 →

COMPROBACIÓN: x⁵ / y⁴ = 1/2048

2⁵ / (2⁴)⁴ = 2⁵ / 2¹⁶ = 1/2¹¹ = 1/ 2048 = 2⁻¹¹ , CORRECTO.