no aporta resultados. Quizás un errata.

Hola, al parecer utilizando los cambios de variable que propones no es posible llegar a la solución de esta integral. Una forma de resolver la integral puede ser la siguiente,

∫11+Sinxdx∫11+Sinxdx

multiplicas la función dentro de la integral por (1−Sinx)(1−Sinx) tanto en el nominador como el denominador, de esta manera es como si multiplicaras por un 1, quedando de la siguiente manera,

∫(1−Sinx)(1+Sinx)(1−Sinx)dx∫(1−Sinx)(1+Sinx)(1−Sinx)dx,

hacemos un poco de álgebra con la expresión anterior y se tiene,

∫(1−Sinx)(1−Sin2x)dx∫(1−Sinx)(1−Sin2x)dx.

La integral anterior puede separarse en 2 integrales,

∫1(1−Sin2x)dx+∫−Sinx(1−Sin2x)dx∫1(1−Sin2x)dx+∫−Sinx(1−Sin2x)dx.

Ahora tenemos que resolver las dos integrales de forma independiente. Para no confundir nombremos de la siguiente forma

integral A

∫1(1−Sin2x)dx∫1(1−Sin2x)dx

integral B

∫−Sinx(1−Sin2x)dx∫−Sinx(1−Sin2x)dx.

Primero resolvemos la integral A utilizando la siguiente relación trigonométrica Cos2x=(1−Sin2x)Cos2x=(1−Sin2x) , entonces se tiene que

∫1(1−Sin2x)dx=∫1Cos2xdx∫1(1−Sin2x)dx=∫1Cos2xdx,

también sabemos que 1Cosx=Secx1Cosx=Secx, por lo tanto, la integral queda expresada como,

∫1Cos2xdx=∫Sec2xdx∫1Cos2xdx=∫Sec2xdx

el resultado de esta integral es inmediato, ya que la d(tanx)dx=Sec2xd(tanx)dx=Sec2x, de esta manera entonces tenemos que,

∫Sec2xdx=tanx+C1∫Sec2xdx=tanx+C1.

Ahora procedemos a resolver la integral B. Para esto utilizamos la misma relación trigonométrica Cos2x=(1−Sin2x)Cos2x=(1−Sin2x) y obtenemos que la integral puede escribirse como,

∫−Sinx(1−Sin2x)dx=∫−SinxCos2xdx∫−Sinx(1−Sin2x)dx=∫−SinxCos2xdx,

en la expresión del lado derecho se propone el siguiente cambio de variable,

u=Cosxu=Cosx

du=−Sinxdxdu=−Sinxdx

Sustituyendo este cambio de variable la integral queda expresada como,

∫du(u2)∫du(u2).

El resultado de la integral anterior es

∫du(u2)=−1u∫du(u2)=−1u,

regresando a la variable original tenemos entonces que,

−1u=−1Cosx=−Secx−1u=−1Cosx=−Secx

Por lo tanto el resultado de esta integral es,

∫−SinxCos2xdx=−Secx+C2∫−SinxCos2xdx=−Secx+C2

Sumando los resultados de las integrales A y B tenemos que el resultado de la integral inicial es entonces,

∫11+Sinxdx=tanx−Secx+C∫11+Sinxdx=tanx−Secx+C.

Es sólo una forma de llegar al resultado, pero como lo dije en un principio los cambios de variable que propones no parecen ser adecuados para este problema.

saludos!