no puede?

Chebyshev (a menudo considerado como el padre de todos los matemáticos rusos) demostró que las llamadas integrales binomias solo se pueden expresar mediante funciones elementales, combinadas en cantidad finita, en tres casos, conocidos como CASOS ELEMENTALES.

Sean m,n,p números racionales (positivos, negativos o nulos).

Se llaman integrales binomias a las integrales del tipo: ∫ x ᵐ(ax ⁿ+ b) ᵖ dx.

Las integrales binomias más interesantes, por su mayor dificultad, son aquéllas en que al menos uno de los valores racionales m,n,p,es fraccionario, es decir, no entero; puesto que entonces se presenta una diferencial irracional, que puede integrarse elementalmente en unos casos pero no en otros.

Los casos de integrabilidad en términos elementales son estos:

CASO 1 : p es entero (ya sea positivo, negativo o cero).

CASO 2 : q = (m+1)/n es entero ( de cualquier signo o incluso cero)

CASO 3 : p + q es entero (de cualquier signo o incluso cero).

Es bastante fácil demostrar que en cualquiera de estos tres casos las integrales binomias se pueden calcular mediante funciones elementales en cantidad finita.

Pero es tremendamente difícil probar el recíproco, es decir, que fuera de esos tres casos elementales, la integral binomia no puede expresarse por medio de funciones elementales en cantidad finita. Esto constituye uno de los más profundos teoremas de Chebyshev. Puede consultarse la demostración en las Obras completas de Chebyshev (véanse, por ejemplo, las OUVRES DE P.L. TCHEBYCHEF, publicadas por Markoff y Sonin, St. Pétersbourg 1899).

Refiriéndonos al contenido concreto de la pregunta, tendremos que la primera integral puede escribirse como integral binomia de esta manera:

∫ x² (1-x²) ⁻³/² dx = ∫ x ᵐ(ax ⁿ+ b) ᵖ dx,

siendo m = 2 ; n = 2 ; p = -3/2 ; a = -1 ; b = 1 .

Así pues, q = (m+1) / n = 3/2, luego no es p entero, ni q es entero ; lo cual conlleva que no se cumplan las hipótesis de los dos primeros casos, pero sí que se cumple la del tercero: en efecto, p+q = -3/2 + 3/2 = 0 , entero; de modo que la integral citada en primer lugar, ∫ x² (1-x²) ⁻³/² dx es expresable en términos elementales.

Por el contrario, la segunda integral mencionada en la pregunta, aun que también es binomia, no cumple las hipótesis de ninguno de los tres casos de integrabilidad práctica:

∫ x² (1-x²) ⁻²/³ dx = ∫ x ᵐ(ax ⁿ+ b) ᵖ dx,

siendo m = 2 ; n = 2 ; p = -2/3 ; a = -1 ; b = 1 .

p no es entero .

q = (m+1)/n = 3/2 no es entero .

p + q = -2/3 + 3/2 = 5/6, no entero. →

Por no pertenecer esta segunda integral a ninguno de los tres casos de integrabilidad práctica, no es expresable elementalmente, por el citado teorema de Chebyshev relativo a la integrabilidad de las diferenciales binomias.