¿Puede ser posible 1=0? Si es así, entonces, ¿también podría ser posible 3=9; 4=23; 0=1000; etcétera?

La respuesta rápida es no, no puede ser posible, el axioma de tricotomia de la igualdad garantiza que un número solo puede ser mayor, menor o igual a otro (siempre es igual a él mismo). Como 11 es mayor que 00 entonces queda claro que la igualdad 1=01=0 no puede existir.

Pero como estoy seguro que esa respuesta no es suficiente (las respuestas "porque si" nunca lo son), intentemos buscar un lugar donde la igualdad sea cierta.

Es una "suerte" que si tengamos un contexto natural donde se cumple dicha igualdad y ese contexto nos llevara a entender una de los axiomas mas importantes de la matemática, a saber No es posible dividir por 00.

Muy bien, comencemos negando uno de nuestros axiomas fundamentales (el mencionado anteriormente) y veamos la siguiente cadena de igualdades:

0=00=0

0.0=1.00.0=1.0

0.00=1.000.00=1.00

0=10=1

(El punto .. indica multiplicación)

¡Listo! Obtuvimos el resultado que estabas preguntando, al negar nuestro axioma hemos conseguido que 1=01=0, pasemos ahora tu siguiente pregunta. No es difícil notar que la elección hecha en la segunda igualdad no es esencial en el razonamiento, fácilmente podemos hacer lo siguiente:

0=00=0

4.0=23.04.0=23.0

4.00=23.004.00=23.00

4=234=23

Incluso podemos hacer lo siguiente:

0=00=0

π.0=e.0π.0=e.0

π.00=e.00π.00=e.00

π=eπ=e

De hecho lo que estamos viendo es que podemos hacer que cualquier número sea igual a cualquier otro que queramos, es decir, al aceptar que nuestro axioma es falso terminamos con que no solo la igualdad 1=01=0 es cierta, sino que además concluimos que ¡todos los números son iguales!

Esa es la razón principal por la que tomamos como axioma la imposibilidad de dividir por 00, sencillamente no nos es útil una matemática donde solo tengamos un solo número y que podamos darle a este número el valor que queramos.

(en este sentido por ejemplo, se cumple que el dinero que tienes en tu cuenta bancaria podría significar que eres rico, pobre y clase media todo al mismo tiempo así como tu calificación en tu último examen podría significar que aprobaste y reprobaste al mismo tiempo.)

Así que en conclusión, si es posible que 1=01=0 pero para ello tendríamos que negar un axioma tan importante en la matemática que sin él, nuestra aritmética no tendría ningún sentido.

¡Saludos!