¿Cómo probarían lo siguiente: ? X mayor que 0 entonces x + 1/x mayor o igual que 2

Se puede demostrar de varias maneras esta desigualdad fundamental. De hecho, generalizándola, y tomándola como un primer caso más sencillo, se llega a probar un lema importante: que si x₁, x₂, x₃, …xₙ son todos positivos, no todos iguales, y su producto es igual a 1 ,o sea, x₁ x₂ x₃ …xₙ = 1 , entonces su suma es mayor o igual que n → x₁ + x₂ + x₃ + … + xₙ ≥ n.

De este lema se deduce inmediatamente, como corolario, que la media aritmética de n números positivos no todos iguales es estrictamente mayor que su media geométrica.

En el caso sencillo que aquí se plantea, suponiendo x > 0, si además

x = 1 → x + 1/x = 1 + 1/1 = 2 → luego en efecto, x + 1/x = 2 → x + 1/x ≥ 2.

Si por el contrario, es x > 0 , pero x ≠ 1 → x - 1 ≠ 0 → ( x - 1)² > 0 →

x² + 1 - 2x > 0 → x² + 1 > 2x ; como es x > 0 podemos dividir ambos miembros de la desigualdad anterior entre x, y subsistirá la desigualdad en el mismo sentido →

(x² + 1) / x > 2 → x + 1/x > 2, como queríamos demostrar.

Por tanto, si x > 0 → x + 1/x ≥ 2, y la igualdad solo se da en el caso x = 1; en los demás casos, la desigualdad es estricta.