?

Tenemos ∫x3a2−x2−−−−−−√dx∫x3a2−x2dx

Reorganizamos la integral de la manera:

∫x3a2−x2−−−−−−√dx=∫x3a2−x2−−−−−−√∗a2−x2−−−−−−√a2−x2−−−−−−√dx∫x3a2−x2dx=∫x3a2−x2∗a2−x2a2−x2dx

=∫x3(a2−x2)a2−x2−−−−−−√dx=∫a2x3−x5a2−x2−−−−−−√dx=∫x3(a2−x2)a2−x2dx=∫a2x3−x5a2−x2dx

Aplicamos sustitución trigonométrica, donde:

sinθ=a2−x2−−−−−−√asin⁡θ=a2−x2a

cosθ=xacos⁡θ=xa

Por tanto:

dx=−asinθ dθdx=−asin⁡θ dθ

Sustituimos en la nueva integral:

=∫a2(a3cos3θ)−(a5cos5θ)asinθ(−asinθ dθ)=∫a2(a3cos3⁡θ)−(a5cos5⁡θ)asin⁡θ(−asin⁡θ dθ)

=−∫a5cos3θ−a5cos5θ dθ=−∫a5cos3⁡θ−a5cos5⁡θ dθ

=−a5∫cos3θ dθ+a5∫cos5θ dθ=−a5∫cos3⁡θ dθ+a5∫cos5⁡θ dθ

Separando las integrales tenemos que:

−a5∫cos3θ dθ=−a5∫(1−sin2θ)cosθ dθ−a5∫cos3⁡θ dθ=−a5∫(1−sin2⁡θ)cos⁡θ dθ

a5∫cos5θ dθ=a5∫(1−sin2θ)2cosθ dθa5∫cos5⁡θ dθ=a5∫(1−sin2⁡θ)2cos⁡θ dθ

Realizamos el cambio de variable u=sinθu=sin⁡θ, por tanto, du=cosθ dθdu=cos⁡θ dθ. La integral queda de la forma:

=−a5∫(1−u2) du+a5∫(1−2u2+u4) du=−a5∫(1−u2) du+a5∫(1−2u2+u4) du

=−a5(u−13u3)+a5(u−23u3+15u5)+C=−a5(u−13u3)+a5(u−23u3+15u5)+C

Desarrollando se reduce a:

=−a53u3+a55u5+C=−a53u3+a55u5+C

Regresamos el cambio de variable:

=−a53sin3θ+a55sin5θ+C=−a53sin3⁡θ+a55sin5⁡θ+C

Tomando en cuenta la sustitución trigonométrica, tenemos que sinθ=a2−x2−−−−−−√asin⁡θ=a2−x2a. Por lo tanto:

sin3θ=(a2−x2)3−−−−−−−−√a3sin3⁡θ=(a2−x2)3a3

sin5θ=(a2−x2)5−−−−−−−−√a5sin5⁡θ=(a2−x2)5a5

Concluimos sustituyendo en la solución:

=−a53((a2−x2)3−−−−−−−−√a3)+a55((a2−x2)5−−−−−−−−√a5)+C=−a53((a2−x2)3a3)+a55((a2−x2)5a5)+C

=−a23(a2−x2)3−−−−−−−−√+15(a2−x2)5−−−−−−−−√+C=−a23(a2−x2)3+15(a2−x2)5+C

Por lo tanto:

∫x3a2−x2−−−−−−√dx=15(a2−x2)5−−−−−−−−√−a23(a2−x2)3−−−−−−−−√+C∫x3a2−x2dx=15(a2−x2)5−a23(a2−x2)3+C