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Por el Teorema integral de Cauchy: [1]
Teorema integral de Cauchy - Wikipedia, la enciclopedia libre

∮Cf(z)dz=0.∮Cf(z)dz=0.

El resumen de la respuesta sería que la integral es cero porque el polo z=0 está fuera del conjunto que dice la pregunta donde podemos situar las curvas de integración (eso sí, añadiendo alguna condición a la curva para poder asegurar que la integral es cero).
Ya está. Se tarda en responder apenas unos segundos, sin ningún cálculo exótico.

Pero vamos a verlo más en detalle a continuación.

Normalmente este teorema se da en clase (análisis complejo [2], también llamado "análisis de variable compleja"… en mi caso fue en segundo curso de la carrera universitaria) y al ser teorema se considera algo demostrado que se puede usar para deducir otras cosas.

Ese teorema hace alusión directamente a una integral de línea (o "de camino") en el cuerpo complejo y el teorema asegura que la integral es siempre exactamente cero cuando la curva y la función cumplen ciertas condiciones.

¿Qué condiciones?
Atención: la pregunta dice que γγ es una curva en un determinado subconjunto del plano complejo… pero ¡ojo!!
¡La curva debe ser cerrada!!! Si no es cerrada no se cumple en general que la integral sea cero… ni en general ni tampoco en muchos casos de la función concreta que dice la pregunta.
Este detalle de que la curva debe ser cerrada es algo de lo que también partió en su respuesta.
Otro detalle que se suele exigir es que la curva sea "simple" o, dicho de forma más larga, que sea "simplemente conexa" (condición que si se une a ser cerrada viene a ser lo que se llama una Curva de Jordan … y que viene a ser que no se corte con ella misma como en un 8)… pero en realidad un señor llamado Edouard Goursat demostró que no es totalmente necesario eso… que la curva puede tener "agujeros" pero basta con que "el número de esos agujeros sea finito" para poder asegurar que la integral será cero. Por eso el Teorema de Cauchy a veces se llama el Teorema integral de Cauchy-Goursat.

Bien, ¿qué más condiciones?
La condición para la función es que debe ser holomorfa, también llamado holomórfica [3]en el dominio.
Las funciones holomorfas son el objeto del estudio del llamado "análisis complejo" y también se conocen como "funciones analíticas".
Esta condición de ser "holomorfa" a veces se dice "complejamente diferenciable en un entorno" de cada punto. Y esta condición es bastante "fuerte" y tiene grandes implicaciones, como que si es diferenciable de esa forma será infinitamente diferenciable. Esto no ocurre con la "derivabilidad" de funciones de variable real… una función de variable real puede ser derivable una vez (en todos los puntos) pero que lo sea una vez no implica en general que sea derivable infinitas veces… puede ser derivable una vez pero no existir la derivada segunda en algunos puntos.

Y otra implicación importante es que si es holomorfa será igual (idéntica) localmente a su serie de Taylor (recordemos que una serie de Taylor se forma con valores de derivadas sucesivas: primera derivada, segunda derivada… y acabo de decir que tiene tiene infinitas derivadas sucesivas, así que tiene serie de Taylor). Cuando una función puede expresarse con una serie de potencias convergentes, como en este caso la serie de Taylor, se dice que es una función analítica. Por eso a las funciones de variable compleja que son funciones holomorfas también se dice que son funciones analíticas.

Observamos que la función de la pregunta es:

f(z)=1zf(z)=1z

Esta función es infinitamente diferenciable excepto en el punto z = 0.
El punto z=0 es lo que se llama un polo o singularidad.
¿Por qué este punto es el único problemático?
Se trata de una división de polinomios, muy típico en este tipo de problemas… y el punto z=0 es la única raíz de ese polinomio del denominador.

Pero nótese que el enunciado de la pregunta habla de un conjunto abierto que NO contiene el punto z=0 y, por tanto, cualquier curva cerrada dentro de ese conjunto nunca jamás va a contener ese punto z=0 y, por tanto, la función es holomorfa (en toda la región que contenga la curva cerrada), y, por tanto, la integral es cero.

En caso de que la curva contuviese el punto z=0 la integral ya no sería cero… porque la función no es holomorfa en algún punto contenido dentro de la curva cerrada.
Pero la integral también sería facilita, si sabemos el Teorema del Residuo. [4]

Res(f,z0)=12πi∫Cf(z)dzRes⁡(f,z0)=12πi∫Cf(z)dz

El residuo del polo z0z0 se puede ver fácil que es 1.
Esto se ve porque es polo simple:

Res(f,z0)=limz→z0(z−z0)f(z)=limz→0z∗1z=1Res⁡(f,z0)=limz→z0(z−z0)f(z)=limz→0z∗1z=1

Por tanto, en estos otros casos la integral sería : 2π⋅i2π⋅i (si la región encerrada por la curva cerrada contuviese el polo z0=0z0=0 )

Notas al pie